אידיאל (אלגברה)

באלגברה, אידיאל הוא תת-קבוצה של חוג (מערכת עם חיבור וכפל) שעומדת בתנאים שמאפשרים לבנות חוגי מנה. תפקידו דומה לזה של תת-חבורות נורמליות בתורת החבורות. בדרך כלל מכוונים לאידיאל דו-צדדי, כלומר קבוצה סגורה לחיבור ולחיסור, וגם לסוג של הכפל משני הכיוונים: אם i שייך לאידיאל ו-r שייך לחוג, אז גם r·i ו-i·r שייכים לאידיאל.

בחוגים לא-קומוטטיביים (כש-a·b לא תמיד שווה b·a) יש גם אידיאלים שמאליים וימניים. אידיאל חד-צדדי הוא מודול מעל החוג, והוא יכול להכיל איברים אחרים מאשר אידיאל דו-צדדי.



האידיאל הנוצר על ידי קבוצה X בחוג הוא האידיאל הקטן ביותר שמכיל את X. הוא מורכב מסכומים סופיים של איברים מהצורה r·x·r' (או רק r·x עבור אידיאל שמאלי, או x·r עבור אידיאל ימני).


אידיאל שנוצר על ידי איבר יחיד נקרא אידיאל ראשי. באידיאל שמאלי ראשי יש את כל האיברים ra כאשר r שייך לחוג. בחוג המספרים השלמים, האידיאל של כל המספרים שמתחלקים ב-3 הוא אידיאל ראשי.


לכל הומומורפיזם בין חוגים (פונקציה ששומרת חיבור וכפל) הגרעין, כל האיברים שממופים לאפס, הוא אידיאל דו-צדדי.


אידיאל ראשוני מוגדר כך שחוג המנה R/P הוא חוג בלי סכנות של מכפלות אפס. בחוג חילופי, זה שקול לאומר שאם מכפלה ab נמצאת באידיאל, אז לפחות אחד מהאיברים נמצא בו.

אידיאל מקסימלי הוא אידיאל שלא מוכל באידיאל גדול יותר. בכל חוג עם יחידה, כל אידיאל כלול באידיאל מקסימלי. כל אידיאל מקסימלי הוא ראשוני. חוג שמכיל אידיאל מקסימלי יחיד נקרא חוג מקומי.

אידיאל מינימלי הוא אידיאל שאין בתוכו אידיאלים אחרים פרט לאפס. לא תמיד קיימים אידיאלים מינימליים בחוג נתון, והנחת קיום שלהם היא הנחה חזקה בתורת החוגים.

אידיאל הוא קבוצה מיוחדת בתוך חוג. חוג זהו מקום שבו יש חיבור וכפל. הקבוצה סגורה לחיבור ולחיסור. אם לוקחים איבר מהאידיאל ומכפילים אותו בכל איבר מהחוג, התוצאה נשארת באידיאל.


בחוג המספרים השלמים, קבוצת כל המספרים שמתחלקים בשלוש היא אידיאל. כלומר כל מספר שמתחלק בשלוש נשאר כזה אחרי חיבור, חיסור ומכפלה בכל מספר שלם.


אידיאל שנוצר על ידי איבר אחד נקרא אידיאל ראשי. למשל, האידיאל של המספר 3 כולל את כל המספרים שמתחלקים ב-3.


כשיש פונקציה בין שני חוגים ששומרת חיבור וכפל, כל האיברים שנשלחים ל־0 יוצרים אידיאל. קוראים לזה הגרעין.


אידיאל ראשוני קשור למספרים ראשוניים. אידיאל מקסימלי הוא כזה שאי אפשר להוסיף אליו עוד איברים בלי להפסיק להיות אידיאל. אידיאלים מינימליים קשים למצוא ולעתים אינם קיימים.