מכפלה מעורבת
מכפלה מעורבת היא פעולה על שלושה וקטורים במרחב תלת־ממדי. וקטור הוא כיוון וגודל. רשום אותה כך: a·(b×c). כאן "·" זו מכפלה סקלרית. סקלר זה מספר. "×" זו מכפלה וקטורית. היא נותנת וקטור חדש שניצב לשני המקוריים. התוצאה היא מספר. הגודל של המספר הוא הנפח של צורה הנקראת מקבילון. מקבילון זה דומה לקופסה נטויה ש...
מכפלה קרטזית
מכפלה קרטזית יוצרת קבוצה של זוגות. בכל זוג, האיבר הראשון מגיע מקבוצה אחת. האיבר השני מגיע מקבוצה שנייה. זוג כזה נקרא "זוג סדור" כי הסדר חשוב. אם יש 13 דירוגים של קלפים ו‑4 סוגים (♠,♥,♦,♣), אז כל צירוף של דירוג וסוג יוצר קלף. כל הצירופים יחד הם 52 קלפים. אם יש כמה קבוצות, ממש כמו רשימה של תיבות, כל...
מכפלה וקטורית
מכפלה וקטורית היא פעולה על שני וקטורים בתלת־ממד. התוצאה היא וקטור. הווקטור החדש עומד מאונך לשניהם. הגודל של הווקטור החדש שווה לאורך של הראשון כפול אורך של השני, וכפול סינוס של הזווית ביניהם. "אורך" הוא כמה הווקטור ארוך. "סינוס" היא דרך למדוד כמה הזווית בין הווקטורים. אם הווקטורים מקבילים, התוצאה ה...
מכפלה סקלרית
מכפלה סקלרית היא דרך להשיג מספר משני חיצים (וקטורים). וקטור הוא חץ עם כיוון ואורך. התוצאה היא מספר אחד. יש שתי דרכים להביט על זה: דרך הצורה של החצים ודרך הרשימות של המספרים שלהם. המכפלה תלויה באורכים של שני החיצים ובזווית ביניהם. אם החיצים באותו כיוון התוצאה גדולה וחיובית. אם הם ניצבים זו לזו הת...
כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה
כלל לייבניץ נקרא גם כלל המכפלה. הוא עוזר למצוא את הנגזרת של מכפלת פונקציות. נגזרת היא מדד לשינוי. הכלל הפשוט: (f·g)' = f' g + f g' זה אומר: נגזרים פעם אחת את הפונקציה הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז נחבר את זה עם ההיפך. ממחשבים את הגבול שמגדיר נגזרת. מפצלים את ההפרש לשתי חלקים. כל חלק נותן אחד מהח...
טבח מערת המכפלה
ב־25 בפברואר 1994, בחברון, קרה אירוע קשה במערת המכפלה. איש בשם ברוך גולדשטיין, שהיה רופא, ירה במתפללים. 29 אנשים נהרגו. כ־125 אנשים נפצעו. המערה היא מקום קדוש, שבו מתפללים יהודים ומוסלמים. גולדשטיין היה חבר בתנועת כך. תנועת כך היא קבוצה פוליטית קיצונית. הטבח גרם למהומות וכאב רב. המערה נסגרה לכנ...
מרחב מכפלה
מרחב מכפלה נוצר ממרחבים שונים על ידי שילוב שלהם לנקודות עם כמה רכיבים. טופולוגיית המכפלה היא אוסף הקבוצות הפתוחות שבו. הטלה היא פונקציה שמוציאה את אחד הרכיבים של נקודה במכפלה. קבוצת גלילית היא קבוצה שפתוחה ברכיב אחד וכוללת את כל הרכיבים האחרים. הבסיס לטופולוגיה מקבלים מחיתוכים סופיים של קבוצות גלי...
מרחב מכפלה פנימית
זוהי דרך לחבר שני וקטורים. וקטור הוא סדרה של מספרים, כמו (x1,x2,x3). מכפלה זו לוקחת שני וקטורים ומחזירה מספר. לדוגמה, לוקטורים בשלוש מידות: \lang (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3. זה נקרא "מכפלה סקלרית". היא עוזרת למדוד אורך וזווית. אורך של וקטור מחושב כך: \|x...
שדה גלובלי
שדה גלובלי הוא שדה שבו עובדת נוסחת המכפלה. אמיל ארטין ו- C. Nesbitt הראו ששדות כאלה שייכים לשתי קבוצות עיקריות. להשלמות של שדות אלה יש מבנה נומרי מיוחד שמכונה שדה מקומי (שדה עם רעיון של קרבה). נוסחת המכפלה אומרת: בוחרים מדדים של גודל לכל מקום בשדה, וכשכופלים את כל הגדלים של מספר x שאינו אפס מקבלי...
אריתמטיקה של גבולות
גבול זה הערך שאליו פונקציה מתקרבת. אם לשתי פונקציות יש גבול בנקודה x0, אז: הגבול של סכום הוא סכום הגבולות. הגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות. אם מכפילים בפונקציה קבועה α, הגבול מוכפל ב-α. הגבול של הפרש הוא הפרש הגבולות. הגבול של מנה שווה למנה של הגבולות רק אם המכנה לא נוטה לאפס. אם פונקציה אחת ג...
קבר אבנר בן נר
אתר קבר אבנר בן נר נמצא בעיר חברון, ליד מערת המכפלה. יש שם מבנה עם חדרים סביב חצר ושער בסגנון עתיק. אבנר בן נר היה שר צבא של שאול. שר צבא זהו מפקד בצבא. אחרי שאול מת, אבנר תמך באיש בושת, בנו של שאול. אחר כך אבנר בא אל דוד כדי להעביר לו את המלוכה. יואב הרג את אבנר אחרי מריבה. דוד דאג שקברו יהיה מכוב...
פרמננטה
פרמננטה היא מספר שמחשב ממטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. בפרמננטה לוקחים כל סידור של העמודות. עבור כל סידור עושים מכפלה של איברים מתאימים, ואז מחברים את כל המכפלות. אם כל המספרים במטריצה הם חיוביים, גם הפרמננטה חיובית. הפרמננטה הומצאה לראשונה ב-1812 על ידי אוגוסטן לואי קושי. משתמשים בפרמננטה בספי...
משפט טרסקי
אלפרד טרסקי גילה משפט שמקושר לאקסיומת הבחירה. אקסיומת הבחירה אומרת שאפשר לבחור פריט אחד מכל קבוצה במשפחה של קבוצות. טרסקי הראה שאם לכל קבוצה אינסופית מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בזוגות שלה (A×A), אז אפשר להוכיח את אקסיומת הבחירה. כשטרסקי שלח את המאמר לפרסום, שני מתמטיקאים מפורסמים דחו אותו...
משפט טיכונוף
משפט טיכונוב אומר: אם כל אחד מהמרחבים בקבוצה הוא קומפקטי, אז גם המרחב שמורכב מהם יחד (המכפלה) קומפקטי. קומפקטיות פירושה: כל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות פתוחות ניתן לכסות בעזרת מספר סופי מהן (כלומר לא צריך אינסוף קבוצות). טיכונוב הוכיח את זה בתחילת המאה ה־20. אחת ההוכחות מסתכלת על קבוצות פתוחות שמ...
מרחב רגולרי
מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי הוא קבוצת נקודות עם רעיון של סביבות. הוא רגולרי אם כל פעם שיש נקודה מחוץ לקבוצה סגורה, אפשר למצוא שתי סביבות פתוחות שלא נוגעות זו בזו. סגורה, כלומר היא כוללת את הגבול שלה. אם בנוסף כל נקודה היא סגורה, קוראים למרחב T3. עוד דרך להגיד זאת: אם נקודה בתוך ק...
זוג סדור
זוג סדור הוא שני פריטים עם סדר. כותבים (a,b). הפריט הראשון הוא ראשון והשני הוא שני. אפשר שגם יהיו זהים. שני זוגות סדורים שווים רק אם גם הראשון בשניהם שווה וגם השני שווה. למשל (a,b) = (c,d) רק אם a=c ו-b=d. בקבוצות הסדר לא חשוב. למשל { a,b } שווה ל{ b,a }. המכפלה הקרטזית של קבוצות A ו-B היא כל הזו...
שרה
שרה (שָׂרַי) הייתה אשתו של אברהם. היא נקראת גם שרה אמנו. נביאה היא אישה שמקבלת מסרים מיוחדים, והמסורת מספרת שגם שרה הייתה כזו. היא ילדה את יצחק כשהייתה מבוגרת מאוד. כשהייתה בת 65 יצאה שרה עם אברם לארץ כנען. כשהיה רעב נסעו למצרים. אברם אמר ששרה אחותו. המלך לקח את שרה, אבל לאחר צרות החזירו אותה. שרה...
מרחב נורמלי
נורמלי פירושו שמפרידים שתי קבוצות סגורות עם שתי קבוצות פתוחות שונות. קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את הגבול שלה. קבוצה פתוחה היא סביבת נקודות בלי הגבול בתוכה. אם כל נקודה גם היא קבוצה סגורה, קוראים למרחב T4. אפשר לחשוב על זה כאפשרות להפריד דברים בצורה ברורה. הלמה של אוריסון אומרת: יש פונקציה רציפה ...
סכום ישר
סכום ישר הוא דרך לחבר כמה מבנים מתמטיים כך שכל חלק נשאר נפרד. סימן הנפוץ הוא ⊕. אם A הוא סכום ישר של B ו‑C, אז אפשר לראות את A כמקום שכולל את שני החלקים בלי שהם יתערבבו. במתמטיקה יש שיטה כללית לשוחח על מבנים ומפות ביניהם. לפי שיטה זו, סכום ישר הוא אובייקט שמקבל מכל חלק הזרקה ייחודית אליו. כלומר, ...
רבקה
רבקה היא אישה חשובה בספר בראשית. היא בתו של בתואל ואחותו של לבן. היא התחתנה עם יצחק והייתה אם לשני תאומים: יעקב ועשו. אברהם שלח את עבדו לחפש אישה ליצחק. רבקה הגיעה לבאר והשאירה מים גם לעבד וגם לגמליו. העבד נדהם משירותה ונתן לה תכשיטים. רבקה סיפרה בבית על מה שקרה. לבן הזמין את האורחים. אחרי ששמעו א...
חברון
חברון (בערבית: אל-ח'ליל) נמצאת בהר חברון. העיר רחוקה כ-35 ק"מ מירושלים. חברון היא עיר מאוד עתיקה. אנשים גרים בה מאז אלפי שנים. העיר יושבת בגובה של כ-927 מטר מעל הים. היא מרכז נפה גדולה של הרשות הפלסטינית. יש מסביב לה כפרים ויישובים אחרים. במערת המכפלה, לפי המסורת, קבורים אבות ואמהות כמו אברהם ושרה...
פונקציונל
פונקציונל הוא פעולה שמקבלת פונקציה ומחזירה מספר. פונקציה של פונקציות אומרת בדיוק את זה: קלט פונקציה, פלט מספר. מרחב נורמי הוא מקום שבו אפשר למדוד "אורך" של איברים. יש קבוצה של כל הפונקציונלים הליניאריים. קבוצה זו נקראת המרחב הדואלי. לפונקציונל יש גודל שנקרא נורמה. אם הגודל הזה סופי אומרים שהוא חסו...
אי-שוויון קושי-שוורץ
אי־שוויון זה קושר בין "מכפלה פנימית" לנורמה. מכפלה פנימית היא דרך להשוות בין שני וקטורים. נורמה היא האורך של וקטור. האידיאה העיקרית: גודל המכפלה לא גדול ממכפלת האורכים. קושי גילה גרסה בסיסית ב־1821 עבור וקטורים סופיים. בוניקובסקי הרחיב את זה לאינטגרלים ב־1859. שוורץ הרחיב את זה עוד יותר ב־1885. אם...
סימן לוי-צ'יוויטה
סימן לוי־צ'יוויטה כתוב עם האות ε. זו כללים שמחזירים +1, −1 או 0. אם הסדר הוא (1,2,3) או סיבוב שלו, מקבלים +1. אם הסדר הפוך מקבלים −1. אם שני מספרים שווים מקבלים 0. הסימן בודק איך סידרתם את המספרים. אפשר להרחיב את הרעיון לרשימות ארוכות יותר. בקירוב בשלשות של שלושה מספרים ישנן קשרים מיוחדים עם סימן...
פרשת ויחי
פרשת ויחי היא הפרשה האחרונה של ספר בראשית. פרשה, חלק מהתנ"ך שקוראים בשבת. כאן מסיימים את סיפורו של יעקב. יעקב חי במצרים כ־שבע־עשרה שנה. כשהוא זקן, הוא מבקש שיובא לקבורה בארץ אבותיו, במערת המכפלה, מקום קבורת המשפחה. הוא מברך את בניו. הוא עושה שני דברים חשובים: עושה את בניו של יוסף, מנשה ואפרים, ל...
סימון דיראק
סימון דיראק הוא דרך לכתוב מצבים בקוונטום. פול דיראק הגה אותו. יש שני חלקים חשובים: ברה וקט. ברא וקט הם סימנים שמחברים מצבים. כשמחברים ברה וקט מקבלים מספר. מספר זה מראה כמה סביר שיקרה משהו. פונקציית גל ψ(r) מראה היכן החלקיק עשוי להימצא. קט הוא הייצוג של מצב. ברה הוא "המצמיד" שלו. הצמדתם נותנת משרעת...
אופרטור הרמיטי
אופרטור הרמיטי הוא פעולה על וקטורים. וקטור הוא רשימת מספרים. פעולה זו שווה ל"צמוד" שלה. הצמוד הוא אופרטור שמקיים ⟨Ax,y⟩ = ⟨x,A^*y⟩. ההסבר הקצר: הצמוד הוא כמו מראה של הפעולה. תכונה חשובה: הערכים העצמיים של אופרטור הרמיטי הם תמיד מספרים ממשיים. ערך עצמאי (eigenvalue) הוא המספר λ שעבורו Av = λv. כשעו...
שלושת האבות
שלושת האבות הם אברהם, יצחק ויעקב. הם אבא של העם היהודי. לפי המסורת הם קבורים במערת המכפלה בחברון. אברהם יצא מעיר בשם אור כשדים. אלוהים בקש ממנו ללכת לארץ כנען. אלוהים הבטיח לו ארץ וילדים רבים. יצחק נולד לשרה והוכתר כיורש. יצחק הוליד תאומים, יעקב ועשיו. יעקב קיבל את הברכה והמשיך את המסורת. יעקב קיב...
אידיאל (אלגברה)
אידיאל הוא קבוצה מיוחדת בתוך חוג. חוג זהו מקום שבו יש חיבור וכפל. הקבוצה סגורה לחיבור ולחיסור. אם לוקחים איבר מהאידיאל ומכפילים אותו בכל איבר מהחוג, התוצאה נשארת באידיאל. בחוג המספרים השלמים, קבוצת כל המספרים שמתחלקים בשלוש היא אידיאל. כלומר כל מספר שמתחלק בשלוש נשאר כזה אחרי חיבור, חיסור ומכפלה ...
מרחב הילברט
מרחב הילברט דומה לחדר שבו יש וקטורים. מכפלה פנימית היא כלי שמחשב אורך וזווית בין וקטורים. המרחב צריך להיות "שלם". שלם פירושו שכל סדרה שמתקרבת למשהו אכן מגיעה לחלק במרחב. מרחבי הילברט חשובים כי הם מאפשרים לעשות גאומטריה גם בממדים רבים מאוד. הם משמשים בנושאים כמו פורייה ומכניקת הקוונטים. זהו מרחב ...
וקטור (פיזיקה)
וקטור הוא חץ. החץ מראה כמה גדול ואיפה הוא פונה. לדוגמה: מהירות היא לא רק כמה מהר, אלא גם לאן. במדע משתמשים בווקטורים כדי לתאר דברים במרחב התלת־ממדי. סקלר הוא מספר בלי כיוון. לרוב מציירים וקטור כחץ או כותבים אותו עם חץ מעל האות. המרחק של החץ נקרא נורמה. וקטור יחידה הוא חץ קטן שאורכו אחד. כדי ל...
פרשת חיי שרה
פרשת חיי שרה היא פרשה בספר בראשית. שרה, אשת אברהם, נפטרה. אברהם קנה מערה בחברון בשם מערת המכפלה כדי לקבור בה את שרה. אברהם שולח את עבדו למצוא אישה לבנו יצחק. עבד זה לפי המסורת נקרא אליעזר. עבד זה מבקש סימן מאלוהים. הוא אומר שאשה טובה תהיה זו שמשקה גם את גמליו. רבקה הגיעה לבאר ושקה את הגמלים בעצמה...
ארבע פעולות החשבון
ארבע פעולות החשבון הן חיבור, חיסור, כפל וחילוק. חיבור אומר שמוסיפים מספרים זה אל זה. סימן החיבור הוא +. תוצאת החיבור נקראת סכום. לוח חיבור מראה סכומים של ספרות. חיסור אומר כמה נשארים אחרי שמורידים חלק. סימן החיסור הוא -. התוצאה נקראת הפרש. חיסור יכול לתת מספר שלילי (מיעוט), לכן משתמשים גם בשלילים....
אלגברת לי
אלגברת לי היא מבנה מתמטי על מרחב של וקטורים. וקטור הוא חץ במרחב. יש לה פעולה מיוחדת שנקראת סוגריים [x,y]. זו לא מכפלה רגילה. תמיד [x,x]=0. יש כלל על שלושה איברים שנקרא זהות יעקובי. זה אומר שסכום של שלושה ביטויים שווה 0. - אם כל הסוגריים שווים 0, זה אלגברה פשוטה. - R^3 עם המכפלה הווקטורית היא דוגמה...
אורתוגונליות
אורתוגונליות היא רעיון כללי ל'ניצבות'. שני וקטורים אורתוגונליים אם משהו שנקרא מכפלה פנימית שווה לאפס. מכפלה פנימית היא דרך לחשב יחס בין שני וקטורים, כמו למדוד זווית. וקטור הוא אורתוגונלי למרחב אם הוא אורתוגונלי לכל וקטור במרחב הזה. מספיק לבדוק מול הווקטורים הבסיסיים. המשלים האורתוגונלי של קבוצה ה...
תקופת האבות
"תקופת האבות" היא התקופה שבה לפי המסורת חיו אברהם, יצחק ויעקב. אלה הם האבות והאמהות: שרה, רבקה, רחל ולאה. הם מיוחסים להתחלת העם והדת היהודית. בסיפורים כתוב שאברהם עבר לארץ כנען. לפי המסורת האבות נקברו במערת המכפלה. רחל נקברה בדרך לבית לחם. חוקרים בודקים אם הסיפורים מתארים זמן אחד אמיתי. הם מצאו...
אלומה הפיכה
אלומה הפיכה היא אלומה שיש לה אלומה הפוכה. אלומה היא אוסף נתונים שמחובר לכל נקודה במרחב. אלומת המבנה היא האלומה שמכילה פונקציות ומידע מקומי על המרחב. אם X חלקה ו-L הוא אגד קווי, אלומת החתכים של L היא אלומה הפיכה. על מרחב פשוט אפיני, אלומות הפיכות קשורות למודולים מיוחדים. על מרחב פרוייקטיבי P^n יש א...
סכום של שני ריבועים
להציג מספר כ־a^2+b^2 פירושו לחבר שני ריבועים. ריבוע הוא מספר כפול עצמו. הבעיה ידועה מאוד. פיבונאצ'י הראה שאם יש הצגה לשני מספרים, אפשר להכין הצגה למכפלה שלהם. לכן מספיק לדעת להצגה של המספרים הראשוניים. פרמה גילה כלל חשוב: ראשוניים שנותרים 1 כשמחלקים ב־4 (משאירים שארית 1) אפשר לכתוב כסכום של שני רי...
סדרת סילבסטר
סדרת סילבסטר היא רשימה של מספרים שמתחילה ב-2. כדי לקבל מספר חדש מכפילים את המספר הקודם בעצמו פחות 1 ואז מוסיפים 1. כך מקבלים סדרה של מספרים גדלים. כל מספר שווה גם ל-1 ועוד המכפלה של כל המספרים שלפניו. בגלל זה כל שני מספרים ברשימה לא חולקים מחלקים (אין להם מחלק משותף חוץ מ-1). זה עוזר להראות שיש הרבה...
מטריקה רימנית
מטריקה רימנית קובעת איך למדוד אורכים וזוויות על שטח חלק. המרחב המשיק הוא המקום שבו מסתכלים על כיוונים בנקודה. המטריקה היא חוק שנותן מספר לכל זוג כיוונים. בעזרת המטריקה אפשר למדוד את האורך של קו. מרחק בין שתי נקודות הוא האורך הקצר ביותר בין שתיהן. כך המטריקה אומרת לנו מי קרוב ומי רחוק. המטריקה גם נ...
מרחב קומפקטי מקומית
מרחב קומפקטי מקומית אומר שלכל נקודה יש סביבת קומפקטית. (קומפקטי = אפשר לכסות את הכל עם מספר קטן של חלקים פתוחים.) זה שונה מלהיות קומפקטי לכלל המרחב. אפשר לחלק מרחב לחלקים שכל אחד מהם קומפקטי. בחלק מהמקרים, אם אפשר להפריד נקודות היטב (אוסדורף), מספיק לבדוק שסגור של קבוצות קטנות הוא קומפקטי. הישר המ...
מרחב (מתמטיקה)
מרחב הוא קבוצה עם כללים מיוחדים. קבוצה זו מכילה איברים שנקראים נקודות. יש סוגים שונים של מרחבים. מרחב מטרי אומר שיש דרך למדוד מרחק בין נקודות. מרחב הסתברות נותן כללים לחשב סיכויים. מרחב וקטורי מאפשר לחבר איברים ולהכפיל אותם במספרים. שדה הוא קבוצת מספרים שמשמשת להכפלות אלה. במרחב נורמי אפשר למדוד מ...
כלל המקבילית
כלל המקבילית אומר שבמקבילית סכום ריבועי הצלעות שווה לסכום ריבועי האלכסונים. במלבן זה נותן את משפט פיתגורס. אם יש שני וקטורים a ו-b, הם עושים מקבילית. האלכסונים הם a+b ו-a+b. הנוסחה היא: 2(|a|^2+|b|^2)=|a+b|^2+|a-b|^2. כאן |v| זה אורך הווקטור. במרחב שיש בו מכפלה פנימית, פעולה שמודדת זוויות ואורכים...
זהות לגראנז'
זהות לגראנז' היא כלל במתמטיקה על סכומי ריבועים של שתי רשימות מספרים. ריבוע של מספר פירושו להכפיל אותו בעצמו. בגאומטריה היא אומרת דבר פשוט: אם לוקחים בכל קודקוד משולש את הגובה (המרחק מהקודקוד לצלע הנגדית) ומורידים את הריבועים שלהם ואז מוסיפים, מקבלים ארבע פעמים שטח המשולש. שטח זה אומר כמה מקום המשול...
וקטור מצב (קוונטים)
וקטור מצב הוא דרך לתאר מצב במכניקה קוונטית. וקטור הוא רשימה של מספרים. כותבים אותו לפעמים |ψ\rangle. פונקציית גל מתארת גם היא מצב. החישובים מבוססים על רעיונות של וקטורים ומטריצות. מרחב הילברט, מקום מתמטי שבו שמים את הווקטורים. יש גם "ברים" ו"קטים": ה"בר" הוא וריאציה של הווקטור שעוזרת לחשב מדידות....
מרחב אוקלידי
מרחב אוקלידי הוא הכללה של המישור ושל המרחב התלת־ממדי. השם נלקח מאוקלידס, מתמטיקאי יווני. אפשר לדמיין מרחב כזה כמקום ישר שבו מודדים מרחקים וזוויות. העתקה היא להזיז את כל הנקודות יחד. סיבוב משנה את הכיוון סביב נקודה. צורות נחשבות זהות אם אפשר לקבל את האחת מהשנייה על ידי הזזה, סיבוב או שיקוף. במרחב ...
פונקציית אוילר
פונקציית אוילר נקראת על שם אוילר. מסמנים אותה φ (פי). φ(n) סופר כמה מספרים קטנים מ‑n הם "זרים" לו. זר אומר שאין להם מחלק משותף עם n חוץ מ‑1. לדוגמה: φ(5)=4 כי 1,2,3,4 זרים ל‑5. φ(6)=2 כי רק 1 ו‑5 זרים ל‑6. אם p הוא מספר ראשוני, אז φ(p)=p−1. אם יש חזקה של ראשוני p^s נקבל φ(p^s)=p^s−p^{s−1}. הפונקצ...
יחס הפוך
יחס הפוך אומר: כשאחד גדל, השני קטן. משתנה (משהו שמשתנה) יכול להיות גודל או מספר. קבוע (מספר שאינו משתנה) נשאר אותו דבר. דוגמה פשוטה: עוגה שמתחלקת בין ילדים. אם יש יותר ילדים, כל פרוסה קטנה יותר. המספר הקבוע כאן הוא גודל העוגה. ...
מרחב נורמי
מרחב נורמי הוא מקום עם וקטורים. נורמה היא דרך למדוד אורך של וקטור. היא נותנת תמיד מספר חיובי, שווה אפס רק בווקטור האפס, ומשתנה נכון כשמכפילים במספר. עוד כלל חשוב הוא אי־שוויון המשולש: אורך סכום לא גדול מסכום האורכים. מרחב בנך הוא מרחב נורמי שהוא שלם (אין בו 'חורים'). שתי נורמות שקולות אם אפשר להשוות...
תהליך גרם-שמידט
תהליך גרם-שמידט משדרג סדרה של "חצים" (וקטורים) כך שיהיו מאונכים ומנורמלים. מנורמל = אורך 1. מאונכים = בזווית של 90 מעלות. בסיס הוא קבוצה של חצים שמרכיבים כל וקטור במרחב. אם יש דרך למדוד אורך וזווית (מכפלה פנימית), נרצה בסיס שבו החצים פשוטים יותר. הצעד הראשון מנרמל את הווקטור הראשון. עבור כל וקטור ...