חוג (מבנה אלגברי)

חוג הוא קבוצה שעליה מוגדרות שתי פעולות בינאריות, חיבור (+) וכפל (·), שמקיימות אקסיומות, כלומר כללים בסיסיים שמבנים את ההתנהגות שלהן. בין הכללים המרכזיים יש חוקי הפילוג: x·(y+z)=x·y+x·z וגם (x+y)·z=x·z+y·z. אם הכפל מחליף סדר, כלומר a·b=b·a, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה לחוג חילופי היא קבוצת המספרים השלמים. חוג המטריצות אינו חילופי.

איבר יחידה הוא איבר 1 שעבורו 1·x=x לכל x. חוג שיתכן שהוא חסר איבר זה נקרא "חוג בלי יחידה" (באנגלית rng). בחוגים כאלה יכולים להיות "יחידות-משמאל" או "יחידות-מימין", אך אם קיימת גם יחידה-משמאל וגם יחידה-מימין אז יש יחידה אחת יחידה. חוג האפס, שמכיל רק איבר אחד, הוא דוגמה לחוג בלי יחידה.

ההגדרה האקסיומטית הראשונה של חוג ניתנה על ידי אברהם הלוי פרנקל ב־1914. ב־1921 עמדה אמי נתר על הגדרה של חוג חילופי ושאלה מרכזית היתה האם לדרוש קיום יחידה. לאורך המאה ה־20 השאלה הזו עברה גלגולים: מתחילת שנות ה־60 המיון המקובל בספרים מתקדמים נטה יותר לכיוון של פרנקל, אם כי גישת נתר נשארה בשימוש.

העתקה f:A→B בין חוגים שנשמרת על החיבור, הכפל ואיבר היחידה נקראת הומומורפיזם של חוגים (פונקציה ששומרת את המבנה). הגרעין של הומומורפיזם, קבוצת האיברים שממופים לאיבר האפס, הוא אידיאל. אידיאל הוא תת־קבוצה שסגורה לחיבור ומתמיסה תחת כפל מכל איבר של החוג. משפט האיזומורפיזם הראשון אומר שניתן לזהות באופן טבעי את המנה A/ker(f) עם תמונת ההעתקה Im(f).

תת-חוג הוא תת־קבוצה של חוג שהיא חוג בפני עצמה באותן פעולות. דוגמה: שלמות שלמים מהווים תת-חוג של השדה הרציונלי. אפשר גם לדבר על תת-חוגים בלי יחידה, למשל אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג בלי יחידה של השלמים. המרכז של חוג הוא אוסף האיברים שמתחלקים עם כל איבר אחר; המרכז תמיד תת-חוג חילופי.

יש דרכים רבות לבנות חוגים חדשים מחוגים קיימים.

מכפלת שני חוגים R ו־S היא הקבוצה R×S של זוגות, כשהפעולות מוגדרות רכיב־רכיב. קיימות הטלות טבעיות לכל רכיב; המכפלה מקיימת תכונה אוניברסלית של העתקות. במשפחות סופיות יש התאמה קלה בין האידיאלים של המכפלה לאידיאלים של הרכיבים; במקרה אינסופי מופיעים אידיאלים נוספים.

לכל חוג R אוסף הפולינומים R[x] הוא חוג שנוצר ממקדמים ב־R. R נמצא בתוך R[x] כתת־חוג. אם F הוא שדה, אז F[x] הוא חוג אוקלידי ותחום ראשי.

בהינתן אידיאל I בחוג R, המנה R/I מקבלת מבנה של חוג. בצורה זו נבנים חוגים רבים. למשל ניתן להציג כל חוג חילופי כמנה של חוג פולינומים מעל החוג של השלמים \Z.

חוג המטריצות M_n(R) כולל מטריצות מסדר n עם רכיבים ב־R. החיבור מֻגדָר רכיב־רכיב, והכפל הוא כפל מטריצות. החוג הזה אינו חילופי אם n>1. אפשר לזהות את R בתור תת־חוג של מטריצות סקלריות. קיימת התאמה בין אידיאלים של R לאידיאלים של חוג המטריצות, ולכן תכונות פשטות וארטיניות עוברות לבנייה זו. אם D הוא חוג עם חילוק, אז M_n(D) הוא חוג ארטיני ופשוט. משפט ודרברן־ארטין נותן את ההיפוך לגבי מבנים כאלה.

תורת המבנה של חוגים אסוציאטיביים התפתחה מאוד במאה ה־20, עם צעדים משמעותיים בשנות ה־30 וה־60. כיום מזוהות משפחות רבות של חוגים, כמו חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, ופשוטים, ועוד רבות.

חוג הוא קבוצה עם שתי פעולות: חיבור וכפל. פעולות אלה עוקבות אחרי כללים פשוטים. אחד הכללים אומר שפיזור עובד: a·(b+c)=a·b+a·c.
אם הכפל מחליף סדר, קוראים לחוג "חוג חילופי". דוגמה: המספרים השלמים. מטריצות אינן מחליפות סדר בדרך כלל.

איבר יחידה הוא 1 שמכפיל ולא משנה אף איבר. יש חוגים בלי איבר כזה. קוראים להם "חוג בלי יחידה". אם יש גם יחידה משמאל וגם מימין, אז היא אחת ויחידה. חוג האפס יש בו רק איבר אחד.

בשנת 1914 הוגדרה ההגדרה האקסיומטית הראשונה של חוג. בשנת 1921 אמי נתר הגדרה חופשית לחוגים חילופיים. במשך הזמן שינו את ההגדרות, וחוקרים שונים קיבלו דיעות שונות.

העתקה שמקשרת בין שני חוגים ושומרת חיבור, כפל ו־1 נקראת הומומורפיזם. הגרעין של ההעתקה הוא כל מה שנשלח לאפס. גרעין הוא אידיאל. אידיאל הוא קבוצה שנסגרת לחיבור ונבלעת כשכופלים אותה מכל איבר בחוג. יש משפט שאומר: A חלקי הגרעין שווה לתמונה של ההעתקה.

תת־חוג הוא קבוצה בתוך חוג שעדיין סגורה לחיבור ולכפל. דוגמה: השלמים בתוך הרציונליים. הזוגיים הם תת־חוג בלי יחידה. המרכז הוא כל האיברים שמתחלקים עם כולם יחד.

יש דרכים שונות לבנות חוגים חדשים.

מכפלה של חוגים R ו־S היא קבוצת זוגות (r,s). חיבור וכפל נעשים פר רכיב. יש הטלות של כל רכיב.

R[x] הוא חוג של פולינומים עם מקדמים ב־R. הוא כולל את R בתוכו.

אם יש אידיאל I ב־R, אפשר לבנות את המנה R/I. היא גם חוג.

מטריצות מסדר n עם רכיבים ב־R בונות חוג. החיבור הוא רכיב־רכיב. הכפל הוא כפל מטריצות. אם n גדול מ־1, החוג אינו חילופי. אפשר למצוא בו איברים נילפוטנטים (איבר שאם מרבים אותו בעצמו מספיק פעמים מקבלים אפס).

חוקרים למדו רבות על סוגי חוגים שונים במאה ה־20. יש משפחות חוגים מוכרות, כמו חוגים ארטיניים ונתריים.