אליפסואיד

אליפסואיד הוא גוף תלת־ממדי שכל חתך שלו הוא אליפסה. צורת כדור הארץ ניתנת לתיאור על ידי אליפסואיד.

במערכת קרטזית אפשר לתאר אליפסואיד בעזרת המשוואה (x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1. a, b, c הם צירי האליפסואיד, כלומר המרחקים מהמרכז לנקודות על הצירים. חצי ציר הוא המרחק מהמרכז עד פני האליפסואיד בנקודה זו. החצי־ציר הגדול נקרא חצי ציר ראשי.

נפח האליפסואיד פשוט יחסית: V = (4/3)·π·a·b·c. כלומר מכפילים את שלושת חצאי הצירים ומכפלים ב‑4/3 וב‑π. שטח הפנים יותר מורכב. הוא ניתן לביטוי בעזרת אינטגרלים אליפטיים ספציפיים (פונקציות מיוחדות), כאשר בהגדרה מופיעים פרמטרים כמו φ ו‑k התלויים ב‑a, b, c.


בממדים גבוהים יותר מגדירים אליפסואיד באמצעות מטריצה חיובית A ונקודה מרכזית c: E = {x | (x−c)^T A (x−c) ≤ 1}. המטריצה A קובעת את כיווני האליפסואיד (צירים) והערכים העצמיים שלה קשורים לאורך חצאי הצירים. המושג הזה נקרא גם היפראליפסואיד בממדים רבים.

באופטימיזציה ולמידת מכונה משתמשים באליפסואידים בשיטת האליפסואיד. שיטה זו יוצרת סדרת אליפסואידים שהנפח שלהם קטן בכל שלב, עד שמגיעים לפתרון של בעיה קמורה.

אליפסואיד הוא צורה תלת־ממדית. כל חתך שלה הוא אליפסה. אליפסואיד דומה לגלובוס מעוגל.

לגוף כזה יש שלושה חצאי צירים. חצי ציר הוא המרחק מהמרכז לחלק החיצוני בכיוון מסוים. שלושתם נקראים a, b ו‑c. הם קובעים את הצורה של האליפסואיד.

נפח האליפסואיד מחושב על ידי נוסחה פשוטה: כופלים את a ב‑b ב‑c ואז ב‑4/3 וב‑π. כלומר V = (4/3)·π·a·b·c. זה אומר שנפח תלוי בשלושת הגדלים האלה.

שטח הפנים מורכב יותר. יש לו נוסחה שמשתמשת בפונקציות מיוחדות שקשות לחשב. לכן בדרך כלל אומרים שהשטח קשה יותר למצוא.


בממדים רבים יותר מגדירים אליפסואיד בעזרת מטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. הטבלה הזו קובעת את הכיוונים והאורכים של החצאים.

במדעים ובמחשבים משתמשים באליפסואיד כדי למצוא פתרונות. שיטה אחת יוצרת כמה אליפסואידים שמצטמצמים עד שמוצאים את התשובה.