אלף אפס

ℵ₀ (אלף־אפס) הוא הסימון לעוצמה, מספר האיברים בקבוצה, של קבוצת המספרים הטבעיים. קבוצות שעוצמתן ℵ₀ נקראות קבוצות בנות־מנייה, כלומר אפשר לספור את כל האיברים שלהן לפי סדר.

גאורג קנטור ייסד את תורת הקבוצות בסוף המאה ה-19. הוא השתמש בסימון אלף־אפס במאמר משנת 1893 שפורסם ב-1895. קנטור הסביר שבחר באות האלפבית העברי כדי שלא לחזור על סימונים שכבר היו בשימוש.

מגדירים גם ℵ₁ כהעוצמה הקטנה יותר מכול הגדולות מ־ℵ₀, ℵ₂ להבא, וכן הלאה. ℵ_ω היא העוצמה הקטנה יותר מכל ℵ_n. באופן כללי מגדירים ℵ_α לכל סודר (סודר, מספר שמייצג מיקום בסדר אינסופי) בעזרת אינדוקציה טרנספיניטית.

עוצמת הרצף, כלומר עוצמת הממשיים, מסומנת |R| או לעיתים c. הוכחת האלכסון של קנטור מראה ש־|R| אינה שווה ל־ℵ₀, ולכן יש אינסוף גדול יותר מהממשיים. קנטור הוכיח גם ש־|R| = 2^{ℵ₀} (המספר של כל תתי-הקבוצות של הטבעיים).

ההשערה שה־ℵ₁ שווה ל־2^{ℵ₀} נקראה השערת הרצף. בשנת 1940 הוכיח קורט גדל שההשערה אינה ניתנת לסתירה מתוך אקסיומות תורת הקבוצות. ב־1963 הראה פול כהן ששלילת ההשערה אף היא אינה סותרת אותן אקסיומות. כלומר, ההשערה עצמאית ממערכת האקסיומות המקובלת.

בנוסף קיימים סימוני beth. beth_1 מסמן את 2^{ℵ₀} (עוצמת הממשיים). beth_2 הוא 2^{beth_1}, beth_3 הוא 2^{beth_2}, וכן הלאה לפי הכלל beth_{α+1}=2^{beth_α}. עבור סודרים גבוליים (סדר שאינו בעל קדם־אחרון) מגדירים beth_λ כ־sup של beth_α עבור α הקטן מ־λ.

ℵ₀ (אלף־אפס) הוא הסימון לגודל של קבוצת המספרים הטבעיים. גודל כאן = כמה איברים יש בקבוצה.

המתמטיקאי גאורג קנטור חשב על זה בסוף המאה ה-19. הוא השתמש בסימן הזה לראשונה במאמר שפורסם ב-1895. הוא בחר באות העברית אלף כדי לא לחזור על אותיות שכבר היו בשימוש.

קבוצות שגודלן ℵ₀ נקראות בנות־מנייה. זה אומר שאפשר לספור את האיברים אחת אחרי השנייה.

הממשיים (המספרים אחרי נקודה עשרונית) רבים יותר מהטבעיים. ההוכחה של קנטור, שנקראת הוכחת האלכסון, מראה זאת. קנטור הראה גם שמספר הממשיים שווה ל־2^{ℵ₀}. כלומר יש הרבה יותר תתי־קבוצות אפשריות של הטבעיים.

ההשערה שניסתה לקשר בין ℵ₁ ל־2^{ℵ₀} נקראת השערת הרצף. בשנות ה-40 ו־60 הראו שני מתמטיקאים שקטע זה לא ניתן להוכחה ולא להפרכה מתוך החוקים המקובלים. זה אומר שהחוקים לא קובעים אם ההשערה נכונה או לא.

יש גם סימונים בשם beth. beth_1 הוא גודל הממשיים. beth_2 ו־beth_3 הם גדלים גדולים יותר, לפי כלל שמקשר כל beth לקודם לו.