פטר קנטור
פטר קנטור נולד בבודפשט ב-5 בנובמבר 1949. הוא היה משורר ומתּרגם. מתרגם = אדם שמעביר מילים משפה לשפה. הוא זכה בפרסים, כולל פרס אטילה יוז'ף. קנטור למד אנגלית ורוסית באוניברסיטה. עבד בעיתונים כמתרגם. אחר כך כתב שירים כדי להתפרנס. אנשים חשבו שהוא חשוב בשירה ההונגרית. היה חבר באקדמיה בספרות ב-2015 וב-2...
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
אם יש דרך לשים כל אבן מ‑A על אבן שונה ב‑B, ויש גם דרך לשים כל אבן ב‑B על אבן שונה ב‑A, אז אפשר למצוא דרך שמחברת כל אבן ב‑A לאבן ב‑B בצורה אחת-על-אחת. "פונקציה חד-חד-ערכית" פירושו: כל שני איברים שונים נשלחים לשתי תמונות שונות. "פונקציה עלית" פירושו: כל איבר ב‑B הוא תמונה של מישהו מ‑A. יש כמה דרכים ...
האלכסון של קנטור
קנטור הראה שיש יותר מספרים ממשיים מאשר מספרים טבעיים. 'יותר' כאן פירושו שיש סוגים שונים של אינסוף. יש אינסוף קטן של המספרים הטבעיים. יש אינסוף גדול של כל המספרים הממשיים. ההרעיון נקרא אלכסון. לפני קנטור התחילו בזה חוקרים אחרים, כמו פול דו בואה ריימון. קנטור נתן דרך פשוטה להראות את זה. נביט במספרי...
פורטל:ערכים מומלצים/ערכים/קבוצת קנטור
התחילו מקטע אחד. הורידו את השליש האמצעי, החלק האמצעי מתוך שלושה שווים. עשו את אותו הדבר על כל קטע שנשאר. המשיכו כך שוב ושוב עד אינסוף. גאורג קנטור מצא את זה ב-1883. הקבוצה מפתיעה כי היא לא נראית כמו צורה רגילה. מאה שנים אחרי זה בנואה מנדלברוט התייחס אליה. הוא השתמש ברעיון כשהתעסק בפרקטלים, צורות...
אברם קנטור
אברם קנטור נולד ב-19 בנובמבר 1950. הוא סופר. סופר = כותב ספרים. הוא גם עורך. עורך = מי שעוזר להכין ספרים. הוא מתרגם. מתרגם = מעביר מילים משפה לשפה. הוא מוציא ספרים לאור. נולד בחיפה. כשהיה בן 14 עבר לקיבוץ מזרע. קיבוץ = מקום מגורים שבו חיים ועובדים יחד. עבד שנים בפרדס. פרדס = מטע עצי פרי. אחרי זה...
משפט קנטור לרציפות במידה שווה
משפט קנטור אומר: אם פונקציה רציפה על קטע סגור, היא רציפה באותו אופן בכל הקטע. רציפה כאן פירושה שאין קפיצות פתאומיות בתוצאות. רציפות במידה שווה (אחידה) פירושה: אותו כלל קטן של שינוי ב-x עובד לכל נקודה בקטע. נניח שהפונקציה רציפה אבל לא אחידה. אז יש מרחק קטן רציף בין כל זוג נקודות x_n ו-y_n, אבל הערכי...
גאורג קנטור
גאורג קנטור (1845, 1918) היה מתמטיקאי גרמני. הוא נחשב לאבי תורת הקבוצות. זו תיאוריה שעוסקת בקבוצות של מספרים וחפצים. קנטור נולד בסנקט פטרבורג. כשהיה ילד עברה המשפחה לגרמניה. הוא למד מתמטיקה ובשנת 1869 החל ללמד באוניברסיטה בעיירה האלה. נישא לוואלי והיו לו שישה ילדים. קנטור סבל מפעמים של עצבות עמוקה...
הלמה של קנטור
הלמה של קנטור אומרת: קחו רשימה של קטעים על קו. כל קטע בתוך הקודם. אם אורך הקטעים קטן וקטן עד שהוא נעלם, אז יש נקודה אחת בלבד שבכל הקטעים. קטע סגור הוא קטע שכולל את שני הקצוות שלו. הקצוות השמאליים של הקטעים עולים כל הזמן. הקצוות הימניים יורדים כל הזמן. המרחק בין הקצוות קטן עד שאינו קיים. אז שני הצד...
משפט החיתוך של קנטור
סדרה יורדת של קבוצות היא קבוצות אחת על השנייה. למשל A1 ⊇ A2 ⊇ A3 … . קוטר של קבוצה הוא המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בה. אם יש מקום שבו מודדים מרחקים (מרחב מטרי) והוא שלם (כל סדרת קושי מתכנסת), אז: אם בנויות קבוצות סגורות ולא ריקות שכל פעם קטנות יותר, והקוטר שלהן שואף לאפס, אז יש נקודה אחת שמשות...
קבוצה אינסופית
קבוצה אינסופית היא קבוצה שיש לה הרבה איברים. הרבה כל כך שאי אפשר לספור כולם עד הסוף.\n\nבמתמטיקה יש כלל שנקרא אקסיומת האינסוף. זה אומר שיש לפחות קבוצה כזו.\n\n=דוגמאות לקבוצות אינסופיות=\nהמספרים הטבעיים הם דוגמה: 1,2,3,...\nגם המספרים הזוגיים הם דוגמה: 2,4,6,...\nאפשר לקשר כל מספר טבעי למספר הזוגי ...
ונסן ד'אנדי
ונסן ד'אנדי נולד ב־1851 ונפטר ב־1931. הוא היה מלחין צרפתי. כשהיה צעיר למד לנגן בפסנתר. בהתחלה למד גם משפטים כדי לרצות את משפחתו. אחר כך למד מוזיקה בקונסרבטואר של פריז. קונסרבטואר זה הוא בית ספר גדול למוזיקה. ב־1894 פתח בית ספר למוזיקה שנקרא סקולה קנטורום. הוא ניהל את הבית ספר עד סוף חייו. תלמידים מ...
אלבר רוסל
אלבר רוסל נולד ב-1869 ונפטר ב-1937. הוא היה מלחין מצרפת. בשנת 1889 שירת בצי הצרפתי. במהלך ההפלגות התחיל להלחין, כלומר ליצור מוזיקה. הוא פרש מהצבא ב-1894 ולמד בסקולה קנטורום. סקולה קנטורום היא בית ספר למוזיקה. היצירות הראשונות שלו היו קאמריות. קאמריות זה מוזיקה ללהקה קטנה. בשנת 1904 החל להלחין סימ...
עקום פאנו
עקום פאנו הוא קו רציף שממלא ריבוע. "רציף" כאן אומר שהקֶו לא קופץ ואין קטעים חסרים. הקו נבנה על ידי המתמטיקאי ג'וזפה פאנו ב-1890. הוא רצה להראות שמשתמע שקטע של קו יכול להתאים לכל נקודות הריבוע. הבניית הקו נעשית בשלבים. בכל שלב בונים קויים קצרים ומחברים אותם. בכל שלב הקו נהיה יותר מדויק. בסוף הקו עו...
לגיון
לגיון הוא יחידת צבא רומית בסיסית. בלגיון היו רוב החיילים רגלים כבדים. היו גם פרשים על סוסים וחיילים קלים ומהירים. גודלו השתנה. בראשית רומא היו כ־3,300 חיילים. בתקופת הרפובליקה היו כ־5,000, 6,000 חיילים. בתקופת הקיסרות המוקדמת היו כ־5,400. מאוחר יותר ירד ל־1,000, 2,000. הלגיון מתחלק לקוהורטות. קוהו...
קול ראשון
קול ראשון הוא ספר מאת אברם קנטור משנת 2004. קובי (יעקב) הוא האח הגדול. הוא לא מתנהג בצורה אדיבה בבית. יום אחד קובי נעלם מהבית. הילד מוצא פתק שכתב קובי. בפתק יש קישורים לאתרים באינטרנט (אתרים ברשת). אלה היו אתרים על מסורת יהודית. בין האתרים היו חב"ד והמשיח. יכול להיות שזה שינה את קובי. הילד מנסה למ...
עוצמת הרצף
עוצמת הרצף היא כמה איברים יש במספרים הממשיים. זו דרך למדוד גודל של קבוצה. קנטור הראה שאי אפשר לספור את כל המספרים הממשיים עם 1,2,3,... . הוכחה זו נקראת רעיון האלכסון. הוא גם הראה שעוצמת הממשיים זהה לעוצמת כל הקבוצות של תתי־הטבעיים. זאת אומרת: יש יותר ממשיים מאשר טבעיים. שאלה גדולה הייתה אם יש "ג...
אספות העם ברומא העתיקה
אספת העם ברומא העתיקה נקראה comitium. זו הייתה פגישה של אזרחים להחליט על חוקים ובחירות. היו כמה אספות חשובות: קומיטיה קלטה, אספת הקוריות, אספת הקנטוריות, אספת השבטים ומועצת הפלבאים. הקומיטיה קלטה נוהלה על ידי הכוהנים. הכוהנים קבעו חגים ומועדים. הם גם היו עדים לצוואות. לא היה בה הצבעה רגילה של העם...
פונקציה רציפה במידה שווה
רציפות אומרת: אם נזיז מעט את הקלט, הערך ישתנה מעט. רציפות במידה שווה אומר שיש לכל כמות שינוי אפשרית מרחק אחד בלבד שיעבוד לכל הקטע. זה אומר שהפונקציה לא מתפרצת במקום מסוים. אם הפונקציה רציפה על קטע שסגור וחסום (קטע שיש לו גבולות), אז היא גם רציפה במידה שווה. זה משפט חשוב שנקרא משפט קנטור. תנאי נו...
תבנית:הידעת? 9 באוגוסט - סדרה 2
השערת הרצף ניסח גאורג קנטור. הילברט שם אותה במקום הראשון ברשימת הבעיות שלו ב-1900. הרבה מתמטיקאים ניסו להוכיח או להפריך אותה ולא הצליחו. ב-1937 קורט גדל הראה שהנחה שהיא נכונה מסתדרת עם כללי המתמטיקה הבסיסיים. ב-1963 פול כהן הראה שגם ההנחה ההפוכה מסתדרת עם אותם כללים. לכן לא ניתן להוכיח ולא להפריך א...
קארל ויירשטראס
קארל ויירשטראס (1815, 1897) היה מתמטיקאי גרמני חשוב. קוראים לו "אבי האנליזה". אנליזה היא חקר גבולות ושינוי. גבול הוא איך משהו מתקרב לערך. נגזרת היא מדד לשינוי, כמו שיפוע במתמטיקה. ויירשטראס עשה סדר ברעיונות האלה. הוא המציא דרך מדויקת להגדיר מתי סדרה מתקרבת לערך. הוא הראה דוגמה מפתיעה ב-1872: פונקצ...
קבוצה בת מנייה
קבוצה בת־מנייה היא כזו שאפשר לספור את כל האיברים שלה עם 1,2,3,... . זה אומר שלכל איבר אפשר לתת מספר טבעי שונה. חלק מהקבוצות שניתן לספור הן המספרים בצורת שבר (רציונליים). אבל יש קבוצות שלא ניתן לספור, כמו המספרים הממשיים. קנטור הראה שאפשר לסדר כל זוג של מספרים טבעיים בשורות לפי סכום הקואורדינטות. כך ...
הגדרה רקורסיבית
הגדרה רקורסיבית היא הגדרה שמפנה חזרה אל עצמה, אבל בדרך אחרת. תמיד יש גם חוק שעוצר את זה. החוק שנעצור בו קוראים תנאי עצירה. דוגמה פשוטה: להגיד "יהודי מי שאמו יהודיה". כאן בודקים את האם במקום את האדם. בדוגמה מתמטית: עצרת. כותבים 0! = 1. ואז n! = n · (n-1)! לכל שאר המספרים. כך בונים את הערך מהערך הפש...
הפרדוקס של ראסל
ברטראנד ראסל גילה בעיה חשובה בלוגיקה בשנת 1901. הבעיה השפיעה על הדרך של מתמטיקאים לבנות קבוצות. קבוצות הן אוספים של דברים. החזירו רעיון פשוט: יש קבוצות שמכילות את עצמן, ויש כאלה שלא. ראסל בנה את X, שהיא הקבוצה של כל הקבוצות שלא שייכות לעצמן. נשאלת שאלה: האם X שייכת ל‑X? אם X שייכת ל‑X, אז היא לא י...
תורת המידה
תורת המידה עוסקת בדרך למדוד גדלים של קבוצות. יש דוגמאות פשוטות. הקטע [0,1] יש לו אורך 1. הקובייה [0,1]×[0,1]×[0,1] יש לה נפח 1. אם זורקים קובייה, ההסתברות שיצא 6 היא 1/6. פונקציית מידה היא כלל שנותן לכל קבוצה מספר שאומר כמה היא גדולה. סיגמא־אלגברה היא אוסף של קבוצות שעליו מוגדרת פונקציית המידה. ת...
קטגוריה:תורת המידה
תורת המידה לומדת מדה. מדה היא חוק שמראה כמה גדול משהו. היא בודקת קבוצות, כלומר אוספים של דברים. המידה עוזרת להבין קבוצות מוזרות, למשל קבוצת קנטור....
ממד האוסדורף
ממד האוסדורף אומר כמה "ממדים" יש לקבוצה. פליקס האוסדורף המציא את הרעיון. גם אברהם בסיקוביץ' עזר לפתח אותו. ממד רגיל הוא מספר שלם. למשל, למישור יש ממד 2. אבל יש קבוצות מיוחדות שנקראות פרקטלים. פרקטלים נראים דומים לחלקים שלהם. חלק מהפרקטלים יש להם ממד שאינו שלם. כדי להבין את הממד סופרים כמה כדורים...
אינסוף
אינסוף (סימן: ∞) אומר "אין סוף" או "אין גבול". קבוצה היא אוסף דברים. יש קבוצות שאין להן סוף. לדוגמה, כל המספרים הטבעיים הם אינסוף. גם כל המספרים הממשיים הם אינסוף. עוצמה היא גודל הקבוצה. אפשר להשוות קבוצות אינסופיות בעזרת התאמה בין האיברים. קנטור הראה שיש אינסופים בגדלים שונים. רצפים שגדלים בלי ס...
קנסוס
קנסוס (census) פירושו ספירת תושבים. זו הייתה ספירה של אזרחי רומא. מאוחר יותר המילה קנסוס תיארה גם תשלומי שכירות על אדמות. הקנסוס נערך בשדה מארס בעיר רומא. אב המשפחה התייצב והצהיר מי גר בביתו ומה יש לו. אב המשפחה הוא האיש שבראש המשפחה. הקנסורים שאמדו את נכסי האנשים. פעם גבו מס של אחד אחוז. בסוף ע...
תורת הקבוצות
תורת הקבוצות היא חלק במתמטיקה. קבוצה היא אוסף של דברים. דבר בקבוצה קוראים איבר. את השייכות כותבים x ∈ A וזה אומר x שייך ל־A. בקבוצה לא עושים חזרות. גם הסדר לא משנה: {1,2,3} זהה ל־{2,3,1}. A מוכלת ב־B אם כל איבר של A נמצא גם ב־B. אם A מוכלת ב־B אך לא זהה לה, קוראים לזה חלקית ממש. איחוד (A∪B) מכיל ...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
שדה המספרים הממשיים
המספרים הממשיים הם כל המספרים שנמצאים על קו ישר. קוראים לזה "הישר הממשי". אפשר למדוד איתם מרחקים ולשים נקודות במישור. באמצעות הממשיים אין "חורים" בישר. אם יש קבוצה של מספרים שיש לה גבול עליון, אז יש גם את הגבול הקטן ביותר שנמצא מעל כולם. זה אומר שהישר שלם ולא חסר נקודות. הממשיים הם הרבה יותר מ"רשי...
תבנית:הידעת? 26 בדצמבר - סדרה 2
גם אותיות יכולות לעזור במתמטיקה. המתמטיקאי גאורג קנטור השתמש באות א' בשביל לציין "אלף אפס". "אלף אפס" הוא גודל של כל המספרים הטבעיים. מאוחר יותר השתמשו גם באות ב'. האות ב' מסמלת את גודל כל המספרים הממשיים. יש השערה שאומרת שהעוצמה הקטנה שאינה ניתנת לספירה שווה לעוצמה הזאת....
השערת הרצף
קנטור אמר שיש שלוש אפשרויות לגודל קבוצה של מספרים ממשיים. או שהקבוצה סופית, או שאפשר למנות אותה כמו 1,2,3,... (זה נקרא בת-מנייה), או שהיא בגודל של כל הממשיים יחד. קנטור הראה שיש יותר ממשיים מאשר טבעיים. הוא חשב שאי אפשר למצוא גודל באמצע. הוא לא הוכיח זאת. הגודל של הממשיים שווה לגודל של כל הרשימו...
תורת הקבוצות הנאיבית
תורת הקבוצות הנאיבית היא רעיון פשוט לקבוצות. קבוצה היא אוסף של דברים. את הרעיון גילה המתמטיקאי גאורג קנטור לפני יותר מאה שנים. קנטור חקר קבוצות של נקודות ותכונות שלהן. הוא פרסם מחקרים בסוף המאה ה-19. הגדרות חופשיות מדי יצרו פרדוקסים. פרדוקס זה נותן תשובה שסותרת את עצמה. נחפש את הקבוצה D של כל הקב...
אלף אפס
ℵ₀ (אלף־אפס) הוא הסימון לגודל של קבוצת המספרים הטבעיים. גודל כאן = כמה איברים יש בקבוצה. המתמטיקאי גאורג קנטור חשב על זה בסוף המאה ה-19. הוא השתמש בסימן הזה לראשונה במאמר שפורסם ב-1895. הוא בחר באות העברית אלף כדי לא לחזור על אותיות שכבר היו בשימוש. קבוצות שגודלן ℵ₀ נקראות בנות־מנייה. זה אומר שאפש...
המלון של הילברט
יש מלון עם חדרים שמסומנים 1, 2, 3, ... . יש בו אינסוף חדרים. אינסוף אומר "לא נגמר". כל החדרים מלאים. מגיע אורח נוסף. בעל המלון מבקש מכל אחד לעבור לחדר הבא. מי שהיה בחדר 1 עובר ל‑2. כך חדר 1 מתפנה. אחר כך מגיעים אינסוף אורחים. הבעלים מזיז כל אורח לחדר זוגי. אז כל החדרים האי‑זוגיים ריקים. הוא שם שם...
פליקס ברנשטיין
פליקס ברנשטיין נולד ב־1878 בהאלה ומת ב־1956 בציריך. הוא היה מתמטיקאי, מדען שעוסק במספרים וצורות. הוא עזר לפתח משפט חשוב במתמטיקה על קשר בין קבוצות. בשנת 1924 חקר את התורשה של סוגי דם. הוא השתמש בסטטיסטיקה, דרך לבדוק נתונים כדי למצוא דפוסים. ברנשטיין למד בגטינגן והפך לפרופסור ב־1921. כשעלו הנאצים...
מרצ'ל ברסלשו
מרצ'ל ברסלשו נולד בבוקרשט ב־1903. שמו המקורי היה מרצ'ל ברסליסקה. הוא היה מלחין, משורר וסופר. למד מוזיקה וקיבל תואר במשפטים בפריז. שם למד הלחנה אצל וונסאן ד'אנדי. סכולה קנטורום היא בית-ספר מוזיקה חשוב. בין 1934 ל־1938 כתב והלחין יצירה גדולה בשם "שיר השירים". יצירה כזו נקראת אורטוריה. היא הוצגה באו...
ביקור חולים (סרט)
״ביקור חולים״ הוא סרט קצר משנת 2005. הבמאית היא מיה דרייפוס. במאית (האישה שמכוונת את הצילומים). מיכל עוצרת טיול ומחזור לישראל. היא באה לבקר את סבתה המאושפזת. סבתה מתחילה לא להיות צלולה, כלומר לא לזכור ולעיתים להתבלבל. האמא, קלודט, לא רוצה להשתנות. זהו סיפור שיש בו גם עצב וגם הומור על שלוש נשים שמנס...
מספר ממשי
מספר ממשי הוא כל מספר על הישר המספרי. אפשר לראות אותו כנקודה על קו אינסופי. דוגמאות פשוטות: 3, -4, 1/3 ו‑π. π (פי) הוא מספר שאפשר להשתמש בו בעיגול; בערך הוא 3.14. ממשיים משמשים למדידת דברים רציפים. למשל טמפרטורה ומרחק. כבר אצל היוונים ראו שיש מספרים שנובעים יחס של אורכים, כמו שורש 2. מאוחר יותר במ...
חשבון אינפיניטסימלי
חשבון אינפיניטסימלי הוא חלק במתמטיקה שעוסק בשינוי. רעיון חשוב הוא גבול. גבול זה אומר שהמספר מתקרב אליו יותר ויותר. החשבון נחלק לשתי חלקים: חישוב נגזרות וחישוב אינטגרלים. נגזרת היא קצב השינוי. אינטגרל הוא סכום גדול, לעתים שטח מתחת לעקומה. המשפט היסודי אומר שאם עושים נגזרת ואחר כך אינטגרל חוזרים למ...
הישר הממשי
הישר הממשי מתאר את כל המספרים הממשיים כקו ישר. זהו קו שבו כל נקודה מייצגת מספר. אפשר לחבר מספרים על הישר ולהכפיל אותם בסקלר. מרחב וקטורי זה הוא מממד אחד, כלומר יש רק כיוון אחד על הקו. עוצמת הרצף אומרת שיש על הקו הרבה מאוד מספרים. קנטור הראה שאי אפשר לרשום את כולם אחד אחרי השני. על הישר יש מושג ש...
פונקציה רציפה (אנליזה)
רציפות אומרת שפונקציה לא "קופצת" במקום. אם כשמתקרבים לנקודה הערכים מתקרבים לאותו ערך, הפונקציה רציפה שם. הגדרה פשוטה: לכל מרחק קטן בין הערכים, אפשר למצוא מרחק קטן בקלט, כך שהערכים יהיו קרובים. עוד דרך להגיד את זה: אם בכל רשימה של מספרים שמתקרבת לנקודה, הערכים של הפונקציה על הרשימה מתקרבים לערך בנקו...
פרדוקס השקרן
פרדוקס השקרן הוא בעיה עם משפטים שאומרים על עצמם שהם שקר. דוגמה פשוטה: "אני משקר עכשיו". אם זה נכון, אז הוא שקר. אם הוא שקר, אז הוא נכון. זו סתירה. יש סיפור עתיק על איש מכרתים שאמר "כל אנשי כרתים שקרנים". אם נאמין לו, גם הוא משקר. זה יוצר בלבול. במבחן שיש בו ארבע תשובות, התשובה הרביעית יכולה להיות ...
לאופולד קרונקר
לאופולד קרונקר חי בין 1823 ל-1891. הוא היה מתמטיקאי יהודי-גרמני. הוא למד אצל ארנסט קומר. ב-1845 כתב תזה על שדה המספרים האלגבריים. הסבר קצר: שדה הוא אוסף מספרים שעובדים יחד בחיבור וכפל. אחר כך ניהל שמונה שנים את רכושו של דודו. לאחר מכן חזר למתמטיקה ופרסם תגליות חשובות על משוואות. ב-1883 הפך לפרופ...
ריכרד דדקינד
יוליוס ריכרד דדקינד (1831, 1916) היה מתמטיקאי גרמני. מתמטיקאי = אדם שחוקר מספרים. הוא נולד בבראונשווייג וגר עם אחותו. הוא לא התחתן. דדקינד למד בגטינגן. שם סיים דוקטורט אצל גאוס. גאוס היה מדען מפורסם. דדקינד המציא דרך לקרוא למספרים ממשיים בשם חתכי דדקינד. חתכי דדקינד = מפרידים את כל המספרים הרציונ...
חתכי דדקינד
חתכי דדקינד הם דרך לבנות את המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים. ריכרד דדקינד הציע את הרעיון ב-1872. חתך מחלק את המספרים הרציונליים לשתי קבוצות A ו-B. כל מספר ב-A קטן מכל מספר ב-B. וגם ב-A אין מספר הכי גדול. לדוגמה, עבור מספר רציונלי r אפשר להפריד את אלה שקטנים מ-r ואת אלה שגדולים או שווים ל-r. ...
משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
פרקטל
פרקטל הוא צורה עם חלקים קטנים שחוזרים על עצמם. כשמגדילים פרקטל רואים עוד פרטים דומים לצורה הגדולה. דוגמה פשוטה היא משולש שרפינסקי. מתחילים במשולש ומורידים את המשולש באמצע. אחר כך עושים את זה שוב בכל משולש קטן. כך נשארים הרבה משולשים דומים. פתית השלג של קוך מתחיל מקו. בכל שלב מחליפים את חלקו האמצעי...
בעיית הכרעה
בעיית הכרעה היא שאלה שיש לה תשובה של כן או לא. דוגמה פשוטה: האם מספר טבעי הוא ראשוני? זו בעיית הכרעה. למצוא מספר ראשוני עם 77 ספרות זו לא בעיית הכרעה. יש בעיות מפורסמות, כמו הבעיה העשירית של הילברט. אפשר לחשוב על בעיות הכרעה כמו רשימות של מילים ששייכות ל"שפה פורמלית" (שפה פורמלית = קבוצה של מילים ...