אנליזה ממדית

אנליזה ממדית היא כלי בפיזיקה ובהנדסה לבדוק חישובים ומשוואות.

ממד כאן הוא סוג של גודל פיזיקלי, כמו מסה, אורך או זמן. בדרך כלל בוחרים קבוצת ממדים בסיסיים לפי מערכת היחידות. למשל, במכניקה במערכת SI הממדים הבסיסיים הם מסה (M), אורך (L) וזמן (T). גדלים אחרים מבוטאים בעזרת הממדים האלה.

אנליזה ממדית עוזרת לראות במהירות אם משוואה הגיונית. פעולות חיבור וחיסור מותרות רק על גדלים בעל אותם ממדים. כפול וחילוק בין גדלים שונים מותר. אם מופיעות בפונקציות כמו log, sin, cos או e^x, הערך שבתוך הפונקציה (הארגומנט, כלומר מה שמכניסים לתוך הפונקציה) חייב להיות חסר־ממדים, כלומר מספר בלי יחידות.

ניתן לקבל ממדי מהירות על ידי התבוננות בהגדרה שלה: מהירות היא מרחק חלקי זמן, לכן ממדיה הם L/T. את ממדי הכוח מקבלים מהחוק השני של ניוטון, F = m·a, כאשר a היא התאוצה (שינוי מהירות בזמן); הממדים הם ML/T^2.

אנליזה ממדית משמשת גם כדי למצוא סדרי גודל ולהדריך פיתוח תיאוריות. דוגמה מפורסמת היא קולמוגורוב בתחום הטורבולנציה: אם מסמנים ב-ε את קצב הזרמת האנרגיה (כמה אנרגיה זורמת ביחידת מסה וזמן), הוא הראה שנובע מהנחות מסוימות שהתפלגות האנרגיה לפי גודל הגל מקיימת את הנוסחה E(k) ≈ C ε^{2/3} k^{-5/3}, כאשר k הוא מספר גל (wavenumber) ו-C קבוע.

נרצה למצוא את זמן המחזור של מטוטלת. הפרמטרים המתאימים הם: אורך המטוטלת l, המסה m, ותאוצת הכבידה g. זמן המחזור הוא גודל בעל ממד של זמן (T), לכן ניתן להניח שהוא פרופורציונלי ל- m^a l^b g^c עם מקדם λ לא ידוע.

על ידי השוואת ממדים נמצא שהמסה נופלת מהביטוי (a=0), וש-b=1/2, c=-1/2. כלומר זמן המחזור פרופורציונלי לשורש של יחס האורך לתאוצת הכבידה: T = λ √(l/g). משמעות הדבר היא שזמן המחזור גדל כשהאורך גדל, והוא אינו תלוי במסה. ערך מקדם λ יש לקבוע בדרך אחרת (ניסוי או פתרון מלא).

אנליזה ממדית עוזרת לבדוק חישובים בפיזיקה.

ממד זה פשוט: גודל פיזיקלי כמו אורך, זמן או מסה. בודקים שיחידות זהות כשמחברים או מחסרים גדלים.

אנליזה ממדית אומרת שאפשר לחבר רק דברים מאותו סוג. לכפול ולחלק אפשר בין סוגים שונים. כשיש פונקציות מתמטיות כמו לוג או סינוס, צריך לתת להן מספרים בלי יחידות.

דוגמאות פשוטות: מהירות היא מרחק לחלק לזמן. כוח קשור למסה ולתאוצה. בדיקה כזו מגלה טעויות בחישובים.

קולמוגורוב, חוק מפורסם בתחום נזילות וטורבולנציה, השתמש באנליזה ממדית כדי להבין איך האנרגיה מתחלקת בגלים בנוזל סוער.

במטוטלת חשובים האורך, המסה וכוח הכבידה. אנליזה ממדית מראה שזמן המחזור תלוי רק באורך ובכוח הכבידה. הוא לא תלוי במסה. כדי לדעת את המספר המדויק של הקבוע צריך מדידה או חישוב נוסף.