אנדריי קולמוגורוב
אנדריי קולמוגורוב (1903, 1987) היה מתמטיקאי רוסי חשוב. נולד בטמבוב. אמו מתה בלידתו. דודתו גידלה אותו. למד בבית ואז באוניברסיטת מוסקבה. אהב מתמטיקה מאוד. היה תלמיד של ניקולאי לוזין. קיבל דוקטורט ב-1929. נסע לצרפת וגרמניה ב-1930. הפך לפרופסור ב-1931. ב-1939 התקבל לאקדמיה. נישא ב-1942. ב-1960 שיפר את ...
סיבוכיות קולמוגורוב
סיבוכיות קולמוגורוב בודקת כמה קצר צריך להיות הקוד שמייצר מחרוזת. מחרוזת = שורה של 0 ו-1. אם אפשר לתאר מחרוזת בתוכנית קצרה, היא פשוטה. לדוגמה, 001001001... פשוטה. אפשר לכתוב לולאה שמדפיסה 001 כמה פעמים. מחרוזת בלי דפוס ברור נראית מסובכת. לעיתים אין דרך כללית לבדוק כמה מסובכת מחרוזת באמת. אנדריי קו...
אנליזה ממדית
אנליזה ממדית עוזרת לבדוק חישובים בפיזיקה. ממד זה פשוט: גודל פיזיקלי כמו אורך, זמן או מסה. בודקים שיחידות זהות כשמחברים או מחסרים גדלים. אנליזה ממדית אומרת שאפשר לחבר רק דברים מאותו סוג. לכפול ולחלק אפשר בין סוגים שונים. כשיש פונקציות מתמטיות כמו לוג או סינוס, צריך לתת להן מספרים בלי יחידות. דוגמ...
חוק המספרים הגדולים
כאשר עושים הרבה מדידות, הממוצע שלהן קרוב למה שמצפים. תוחלת היא הממוצע המצופה. אם הערכים נפרדים מספיק ויש להם "שונות" סבירה, הממוצע מתייצב. שונות היא עד כמה הערכים מפוזרים. גם במקרים כלליים יותר אפשר להראות שהממוצע מתקרב לתוחלת. ההוכחה משתמשת בכלים מתמטיים מיוחדים. החוק החזק אומר: כמעט תמיד, א...
מרחב הסתברות
'מרחב הסתברות' כולל שלושה חלקים פשוטים. Ω הוא כל התוצאות האפשריות. F הוא אוסף של קבוצות של תוצאות. קבוצות אלה נקראות מאורעות. P נותנת לכל מאורע מספר בין 0 ל‑1. הכל ביחד מקבל את המספר 1. דוגמה 1: Ω = {1,2,3,4,5,6}, תוצאת קוביה. מאורע: "התוצאה היא 2 או 6". ההסתברות היא 1/3. הקבוצה 1/7 לא נכללת כאן,...
אקסיומות ההסתברות
אקסיומות ההסתברות הן כללים פשוטים שמגדירים איך נותנים מספרים להסתברות. המפורסם שבהן נקרא קולמוגורוב. Ω הוא מרחב המדגם, כל התוצאות האפשריות. 𝓕 היא סיגמא-אלגברה (רשימת המאורעות שאנו מחשבים להן הסתברות). P היא פונקציה שמאגדת את המספרים האלה. הכללים הם: - לכל אירוע ההסתברות לא שלילית. זה אומר P(E) ≥...