בקרה אופטימלית

בקרה אופטימלית היא ענף בתורת הבקרה. המטרה היא למצוא חוק בקרה שממקסם או ממזער ערך מספרי שנקרא אינדקס ביצועים. אינדקס ביצועים הוא פונקציונל, כלומר מיפוי שמקבל מסלול של מצבים ושל מאמצי בקרה ומחזיר מספר.

המערכת מתוארת על ידי משוואת מצב. לדוגמה: ẋ = f(x,u) או ẋ = Ax + Bu. כאן x הוא וקטור המצב, שהוא אוסף הערכים שמתארים את המערכת. u הוא מאמץ הבקרה, המוגבל בדרך כלל לקבוצת אפשרויות U. הבעיה היא לבחור u[t0,tf] כך ש-J, האינדקס, יהיה מינימלי. הזוג u* ו-x* נקראים מסלול אופטימלי.

בדרך כלל יש אילוצים על המסלול, כמו תנאי גבול או יחסים בין משתנים. משתמשים בטכניקות של חשבון וריאציות ומכפלי לגראנז' כדי לטפל באילוצים אלה.

שינוי אינפיניטסימלי במצב (δx) יוצר שינוי ב-f (δf). לנקודת קיצון נדרשת δf = 0. כאשר קיימים אילוצים g(x)=0 מוסיפים כופלי לגראנז' ולוחצים שהלגראנז'יאן יהיה סטציונרי לפי x וכפולי האילוץ.

בחשבון וריאציות מחפשים מינימום של אינטגרל של פונקציית לאגראנז'. יש שני תנאים עיקריים שמבטיחים מציאת מינימום תחת הנחות מתאימות.

בדרך כלל מגדירים פונקציית המילטוניאן H = Φ + λ^T f. כאן λ זה וקטור כופלי לאילוץ המשוואתי. התנאים ההכרחיים לאופטימליות הם נגזרות המילטוניאן: H_x = -λ̇, H_λ = ẋ, ו-H_u = 0, יחד עם תנאי קצה מתאימים. אלה דומות לתנאי פונקציית האקשן בפיזיקה.

שיטת הבקרה האופטימלית משמשת בתחומים כמו הנדסה, תעופה ורובוטיקה. היא מסייעת למצוא מסלולים ומאמצי בקרה שיחסכו אנרגיה או זמן.

חיסרון מרכזי הוא שרוב הפתרונות הם חוקי בקרה תלויי זמן. כלומר הם פתוחים ולא תמיד מספקים משוב תלוי מצב. בעיות מסוימות, כגון רגולטור ליניארי ריבועי (LQR), כן מובילות לחוקי בקרה בחוג סגור. ב-LQR בוחרים אינדקס ריבועי של מצבים ובקרים. הפתרון נותן חוק בקרה בקורלציה ישירה עם x בעזרת מטריצה P שמקיימת משוואת ריקאטי דיפרנציאלית.

כשאין פתרון אנליטי, משתמשים בשיטות נומריות. שתי דוגמאות חשובות הן Steepest Descent, שמתקדמת בכיוון הגרדיאנט כדי להקטין את האינדקס, ותכנות דינמי דיסקרטי, שמחשב אחורה מתנאי סיום לתנאי התחלה ומספק את המסלול המינימלי והמאמצים המתאימים.

בקרה אופטימלית עוסקת בבחירת פעולות כדי לקבל תוצאה הכי טובה. אינדקס ביצועים הוא מספר שמודד עד כמה התוצאה טובה.

יש מערכת שמתנהגת לפי חוק. המצב שלה כתוב ב-x. הבקרה היא מה שאנחנו עושים, u. המטרה היא לבחור את u כך שהאינדקס יהיה הכי קטן.

לעתים יש גבולות או כללים שמגבילים את הפעולות. משתמשים בכלים מתמטיים כדי למצוא את הפתרון הטוב ביותר.

ממציאים פונקציה מיוחדת שמקראים לה המילטוניאן. היא עוזרת לכתוב חוקי תנאי שצריכים להתקיים כדי להיות אופטימלי.

שיטה זו עוזרת בתעופה, רובוטים ובמערכות אחרות. היא מאפשרת לחסוך זמן ואנרגיה.

לעיתים הפתרון הוא סדרת פקודות מראש ולא משוב בזמן אמת. יש שיטות חישוביות, כמו ירידה חדה (Steepest Descent) ותכנות דינמי, שעוזרות למצוא פתרונות על המחשב.