גאומטריה לא-אוקלידית היא כל מערכת גאומטרית עקבית ששונה מהגאומטריה האוקלידית באקסיומה אחת או יותר. האקסיומה השונה בדרך כלל היא אקסיומת המקבילים (אקסיומה: הנחה בסיסית). באוקלידס היא אומרת שבמישור קיים בדיוק ישר אחד שמקביל לישר נתון ועובר דרך נקודה חיצונית לו.
בגאומטריה היפרבולית יש דרך אינסוף ישרים שדרכם עוברים מקבילים לישר נתון. בגאומטריה ספרית (או אליפטית) כל קו דרך הנקודה פוגש את הישר הנתון, כלומר אין ישרים מקבילים כלל.
אוקלידס ביסס את הגאומטריה שלו על חמש הנחות. הנחה חמשית זו נראתה פחות ברורה מאחרות, ולכן מתמטיקאים ניסו במשך מאות שנים להחליפה או להוכיחה משאר ההנחות. בתחילת המאה ה-19 הובן שאפשר לבנות גאומטריות עקביות שבהן הנחה זו לא תקפה, וכך נולדו הגאומטריות הלא-אוקלידיות. לגילוי זה היו השפעות חשובות על המתמטיקה והמדע, ואיינשטיין השתמש ברעיונות האלה בניסוח תורת היחסות הכללית.
גאוס הגיע ראשון למסקנה שאפשר להחליף את אקסיומת המקבילים, אך חשש לפרסום. גאוס גילה תכונות של הגאומטריה ההיפרבולית, כמו חוסר אפשרות לצורות דומות מסוימות וקיומו של אורך אבסולוטי (אורך מוחלט שאינו משתנה בהקשרים שונים). לובצ'בסקי ובויאי פיתחו רעיונות דומים באופן בלתי תלוי.
רימן, תלמידו של גאוס, פיתח את הגאומטריה הספרית ואת הגאומטריה הרימנית. הגאומטריה הרימנית הכלילה את המקרים השונים ונתנה יסודות לגאומטריה דיפרנציאלית, שעוסקת ביריעות עם עקמומיות משתנה (עקמומיות = מידת עיקום של משטח). ב-1868 השתמש אאוג'ניו בלטראמי ברעיונות אלה לבניית מודלים לגאומטריה ההיפרבולית.
דרך להראות שעקרונית אין סתירה בגאומטריה לא-אוקלידית היא לבנות לה מודל בתוך הגאומטריה האוקלידית המוכרת. כך אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, גם הלא-אוקלידית תהיה עקבית. מודלים ידועים כוללים את הגאומטריה על פני כדור (הקווים = מעגלים גדולים), מודל הפסאודוספרה שהראה בלטראמי, ומודל הדיסק של קליין (מודל קליין) שמכסה את המרחב ההיפרבולי כולו.
מודלים כאלה הראו שהאקסיומה החמישית בלתי תלויה בשאר האקסיומות. משמעותי גם היא שהתאוריה הזו הפכה לכלי מרכזי בתחומים אחרים במתמטיקה ובפיזיקה, ובין השאר שימשה לתיאור המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית של איינשטיין.
גאומטריה לא-אוקלידית היא דרך שונה לעשות גאומטריה. היא שונה מכללים מסוימים של אוקלידס. אקסיומה (אקסיומה = כלל בסיסי) חשובה היא אקסיומת המקבילים. באוקלידס יש בדיוק קו אחד שעובר דרך נקודה ואינו פוגש קו אחר.
בגאומטריה היפרבולית יש רבים מאוד קווים דרך אותה נקודה שאינם נפגשים בקו הנתון. בגאומטריה הספרית, כמו על פני כדור, כל קו פוגש כל קו אחר. על הכדור הקווים הישרים הם מעגלים גדולים, כמו קו המשווה.
מתמטיקאים גדולים כמו גאוס, לובצ'בסקי ובויאי גילו שיכולים להכין גאומטריות אחרות. רימן הרחיב את הרעיונות וחשב על משטחים מעוקמים. איינשטיין השתמש ברעיונות האלה כדי לתאר את המרחב-זמן (מרחב-זמן = איך מרחב וזמן קשורים זה לזה).
כדי להראות שהגאומטריה החדשה נכונה, בנו לה מודלים בתוך הגאומטריה הרגילה. דוגמה היא הכדור. בלטראמי הראה מודל בשם פסאודוספרה (פסאודוספרה = משטח דמוי אוכף). קליין בנה מודל דיסק שמייצג את המרחב ההיפרבולי.
מודלים אלה מראים שאין סתירה ברעיונות החדשים. הם גם עזרו למתמטיקה ולמדע להשתפר.
תגובות גולשים