"אינטגרל לבג" הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות. אינטגרל זה פותח על ידי אנרי לבג במסגרת מחקרו בתורת המידה. אם פונקציה אינטגרבילית לפי רימן (כלומר גבול סכומי ריבועים של רימן קיים), הרי גם אינטגרל לבג שלה קיים ושווה לו.
אחד ההבדלים העיקריים בין שתי הגישות הוא איך מחשבים "שטח". באינטגרל רימן חותכים את תחום ההגדרה (x) לחתיכות ומבינים את הגובה לפי ערכי הפונקציה שם. באינטגרל לבג מחשבים לפי התמונה של הפונקציה, לכל ערך שמקבלת הפונקציה בודקים את המידה של קבוצת הנקודות שמקבלות ערך זה. זה שימושי כשהתחום מפוזר או "פתולוגי" אבל התמונה פשוטה.
לבג בנה קודם את מושג מידת לבג, סימונה m. מידה זו כללה את רעיון האורך של קטעים, אך אפשרה גם למדוד קבוצות מסובכות יותר. לאחר מכן הוא הגדיר את האינטגרל בעזרת קרוב בפונקציות פשוטות.
פונקציה פשוטה היא פונקציה שלוקחת מספר סופי של ערכים. לכל ערך y שתקבל הפונקציה מתאימים את המידה של הקבוצה שבה הפונקציה שווה ל־y. אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה על קבוצה E הוא סכום הערכים כפול המידות של הקבוצות המתאימות:
L = \int_E f\,dm = \sum_{y\in\operatorname{Im}f} y \cdot m(f^{-1}(y)\cap E).
הרעיון הפרקטי: מלבנים שגובהם זהה נחברים לפי המידה הכוללת שלהם, בלי להתחשב בפיזורם על התחום.
פונקציית דיריכלה על [0,1] מקבלת 0 על כל המספרים הרציונליים ו־a על כל האי־רציונליים. הקבוצה של הרציונליים בקטע יש לה מידה אפס (מידת לבג היא הכללה של אורך). לכן האינטגרל לפי לבג הוא a, אף על פי שבאינטגרל רימן הפונקציה אינה אינטגרבילית.
עבור פונקציות חיוביות שאינן פשוטות מקרבים אותן בסדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות. אינטגרל לבג של הפונקציה הוא הגבול (או הש sup) של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות שמקבילות לה מצפון.
פונקציה כלשהי מחולקת לשני חלקים: החיובי f_+ והשלילי f_-. אינטגרל כללי מוגדר כהפרש:
\int f\,dm = \int f_+\,dm - \int f_-\,dm,
כאשר שני הצדדים סופיים. אם אחד מהם אינסופי והאחר סופי, מקבלים אינסוף עם הסימן המתאים. אם שני הצדדים מתפזרים, האינטגרל אינו מוגדר.
אינטגרל לבג שומר על תכונות אלגבריות כמו ליניאריות ומונוטוניות. בנוסף יש לו תכונות שמקורן בתורת המידה:
- אם f ו־g שונים רק על קבוצת מידה אפס (קבוצת נקודות שהמידה שלה 0), אז האינטגרלים שווים.
- ליניאריות: \int (\alpha f + \beta g)\,dm = \alpha\int f\,dm + \beta\int g\,dm.
- מונוטוניות: אם f(x) \le g(x) לכל x אזי \int f\,dm \le \int g\,dm.
- תכונת חיבור על קבוצות זרות: עבור A ו־B זרות מתקיים חיבור האינטגרלים על האיחוד.
- \int f\,dm \le \int |f|\,dm.
אינטגרל לבג חזק בטיפול בקבוצות פתולוגיות (כמו קבוצת קנטור או קבוצות שאינן איחוד סופי של קטעים). הוא כולל יותר פונקציות מאשר אינטגרל רימן, אך לא את כולן; עם זאת, לכל פונקציה אינטגרבילית רימן הערכים שווים בשתי ההגדרות.
אינטגרל לבג הוא דרך אחרת לחשב שטח מתחת לעקומה. המידה של לבג (m) היא רעיון שמדמה "אורך" גם לקבוצות מוזרות.
במקום לחתוך את ציר ה־x לחתיכות, מודדים כמה נקודות נותנות כל ערך. כלומר בודקים לכל גובה כמה אורך יש למקומות שבהם הפונקציה שווה לגובה הזה.
פונקציה פשוטה לוקחת רק כמה ערכים. עבור כל ערך כופלים אותו באורך של המקום שבו הוא מתקבל. סכום זה נותן את האינטגרל.
זו פונקציה על [0,1] שמחזירה 0 על מספרים רציונליים ו־a על אי־רציונליים. המספרים הרציונליים בקטע למעשה "לא תופסים אורך" ועמם מידה אפס. לכן האינטגרל לפי לבג הוא פשוט a.
כשטווח הערכים גדול, מקרבים את הפונקציה בפונקציות פשוטות שגדלות. האינטגרל הוא הגבול של האינטגרלים של הקירובים האלה.
מפצלים כל פונקציה לחלק חיובי וחלק שלילי. האינטגרל הכללי הוא ההפרש בין שני האינטגרלים אלה, אם ההפרש מוגדר.
- אם משנים פונקציה רק על קבוצת נקודות ש"לא תופסת אורך" (מידה אפס), האינטגרל לא משתנה.
- אפשר לחבר מקדמים ולחלק פונקציות; הכללים הפשוטים של חיבור וכפל עובדים פה.
- אם פונקציה תמיד קטנה יותר מפונקציה אחרת, גם האינטגרל שלה יהיה קטן יותר.
אינטגרל לבג עוזר לחשב שטחים של פונקציות שקשיות לאינטגרל הרגיל. זה שימושי כשרוצים לטפל בקבוצות או בפונקציות מוזרות.
תגובות גולשים