גבנוניות (סטטיסטיקה)

גבנוניות (kurtosis) היא מדד לריכוז של פונקציית הצפיפות או של התפלגות של משתנה מקרי.
גבנוניות גבוהה מצביעה על הופעת חריגים נדירים וגדולים מהממוצע.
גבנוניות נמוכה מצביעה על חריגים שכיחים יותר אך פחות קיצוניים.
היא מבוססת על המומנט הרביעי, מומנט הוא התוחלת של חזקה של ההסטה מהממוצע.
הגבנוניות מנורמלת כך שהתפלגות נורמלית תקבל ערך 0.
לאחר התוחלת והשונות, הגבנוניות נושאת מידע משלימה יחד עם הצידוד (skewness), המבוסס על המומנט השלישי.
המונח הופיע לראשונה אצל קרל פירסון ב-1905.

הגבנוניות של משתנה מקרי X מוגדרת על ידי הנוסחה γ2 = μ4/σ4 − 3.
כאן μ4 = E((X − μ)^4) היא התוחלת של החזקה הרביעית של המרחק מהתוחלת μ, ו-σ^2 היא השונות.
הגבנוניות אינה משתנה תחת הזזה או כפל בקבוע: γ2(aX + b) = γ2(X).

אם Y = X1 + ... + Xn הוא סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה שונות, אז
γ2(Y) = (1/n^2) · (γ2(X1) + ... + γ2(Xn)).
מכאן, הגבנוניות של ממוצע משתנים בלתי תלויים יורדת כשהמדגם גדל ושואפת לאפס.
על-פי משפט הגבול המרכזי, זה מתאים לעובדה שהתפלגות נורמלית מקבלת גבנוניות אפס.

גבנוניות מדגם x1,...,xn מחושבת כך: g2 = n · Σ(xi − x̄)^4 / (Σ(xi − x̄)^2)^2 − 3, כאשר x̄ הוא ממוצע המדגם.
אומד זה מוטה (biased).
נוסחה מתוקנת נפוצה היא
G2 = (n−1)/((n−2)(n−3)) · ((n+1)·g2 + 6), שהיא אומד חסר הטיה לדגימה מהתפלגות נורמלית.
לעתים, גם האומד המתוקן נשאר מוטה בהתפלגויות אחרות.

גבנוניות הוא מדד שמתאר כמה ערכים רחוקים מהממוצע יש בהתפלגות.
גבנוניות גבוהה אומרת שיש מעט ערכים אך הם מאוד רחוקים מהממוצע.
גבנוניות נמוכה אומרת שלא רואים הרבה ערכים קיצוניים, או שהם קטנים יותר.
התפלגות נורמלית מקבלת ערך 0.

הגבנוניות מבוססת על חישוב של מרחקי הערכים מהממוצע בחזקה ארבע.
זה נותן משקל גדול יותר לערכים הרחוקים מהממוצע.

גם ממדגם קטן אפשר לחשב גבנוניות בעזרת נוסחה מיוחדת.
האומדן הזה לא תמיד מדויק.
יש תיקון שמקטין את הטעות לדגימות מהתפלגות נורמלית.