גודל חסר ממד

באנליזת סדרי גודל, גודל חסר ממד הוא מספר טהור ללא יחידות. כלומר אין לו מטרים, שניות או קילוגרמים.

מספרים חסרי ממד נפוצים במתמטיקה, פיזיקה, הנדסה וכלכלה. דוגמות ידועות הן e, π (פאי) ויחס הזהב. הם נבדלים מגדלים ממדיים שיש להם יחידות ברורות, כמו אורך או זמן.

לרוב מקבלים מספר חסר ממד כמנה של שני גדלים ממדיים שאותם מחלקים זה בזה, כך שהיחידות נעלמות. לדוגמה, מעוות הנדסי (שינוי באורך חלקי אורך התחלתי) הוא מספר חסר ממד, כי שניהם מדודים באורך.

למרות שאין להם ממד פיזי, לפעמים משתמשים באותן יחידות במונה ובמכנה לשם נוחות, למשל קילוגרם חלקי קילוגרם. סימונים מקובלים הם אחוזים או חלקים למיליון. סימונים כאלה אינם נותנים למספר ממד פיזי.

היחס בין שני גדלים בעלי אותן יחידות תמיד יהיה חסר ממד. לדוגמה, היחס בין כוחות שגוף א׳ מפעיל על ב׳ ולהפך צריך להיות בלתי תלוי ביחידות. אם יחס זה תלוי ביחידות, כלומר החוק אינו זהה בכל יחידות, אז החוק הפיזיקלי בעייתי.

לפי משפט פאי של בקינגהאם, כל חוק פיזיקלי ניתן לכתוב בעזרת מספרים חסרי ממד בלבד. זה נעשה על ידי הרכבת מכפלות או מנות של המשתנים המעורבים בחוק.

משפט פאי גם נותן נוסחה פשוטה: מתוך n משתנים בעלי k ממדים בלתי תלויים ניתן ליצור p = n, k מספרים חסרי ממד בלתי תלויים. לדוגמה, בבוחש חשמלי שנבחן לפי כוח, דחיסות, צמיגות, גודל ומהירות, יש n = 5 משתנים ו-k = 3 ממדים (אורך, זמן, מסה). לכן מתקבלים p = 2 מספרים חסרי ממד, כמו מספר ריינולדס (המאפיין משטר זרימה) ומספר כוח (או מספר ניוטון, המתאר את הבוחש ביחס לדחיסות).

חלק מהקבועים היסודיים, כמו מהירות האור או קבוע פלאנק, ניתן לנרמל ליחידה 1 אם בוחרים יחידות מיוחדות של זמן, אורך ומסה. עם זאת, לא כל הקבועים ניתנים לנירמול כזה. יש גם קבועים שהערכים שלהם הם בעצם מספרים חסרי ממד, שהתקבלו מניסויים.

כל מספר טהור הוא חסר ממד. חלק מהם מקבלים משמעות מיוחדת במדעים וההנדסה, כמו π, e, מספר ריינולדס ומספרים אחרים המשמשים לתיאור משטרי זרימה, העברה חום ותהליכים כימיים.

גודל חסר ממד הוא מספר בלי יחידות. זה אומר שלא כותבים מטר או שנייה אחריו.

יש מספרים כאלה הרבה. דוגמאות פשוטות הן π ופאי (יחס מעגל), ו-e (מספר מתמטי). גם אחוזים הם דוגמה.

איך זה קורה? לוקחים שני ערכים שהם באותו סוג, ומחלקים אותם זה בזה. לדוגמה, שינוי באורך של חוט חלקי האורך שלפני השינוי. זו דרך למדוד מתיחה בלי יחידות.

יש משפט חשוב במתמטיקה שנקרא משפט פאי של בקינגהאם. הוא אומר שאפשר לכתוב חוקים של פיזיקה בעזרת מספרים בלי יחידות. זה עוזר להבין אילו דברים באמת משפיעים.

לדוגמה, כשבודקים בוחש שמערבל נוזלים, מסתכלים על כוח, דחיסות, צמיגות, גודל ומהירות. מתוך אלה מתקבלים שני מספרים בלי יחידות. אחד מהם נקרא מספר ריינולדס. המספרים האלה עוזרים לנבא איך הזרימה תתנהג.

חלק מהקבועים בטבע אפשר לבחור בהם יחידות כך שערכם יהיה 1. אבל יש גם קבועים שהערכים שלהם הם פשוט מספרים בלי יחידות, ומדדו אותם בניסויים.

מספרים טהורים בלי יחידות עוזרים למדענים ומהנדסים להשוות מצבים שונים בקלות.