דיברגנץ

הדיברגנץ (Divergence) הוא אופרטור הפועל על שדה וקטורי. שדה וקטורי היא פונקציה שמקצה וקטור לכל נקודה במרחב. התוצאה היא פונקציה סקלרית, כלומר מספר בכל נקודה.

אם \vec F הוא שדה וקטורי והדיברגנץ שלו הוא f, כותבים
f = \operatorname{div} \vec{F} = \vec \nabla \cdot \vec F,
כאשר \vec\nabla היא הנבלה, אופרטור שמאגד נגזרות לפי הצירים.

הדיברגנץ מודד כמה "מקורות" או "נוזלים" יוצאים או נכנסים מנקודה. אפשר לדמיין קובייה קטנה בתוך זרם נוזל. בודקים מה הכמות שנכנסת ומה שיוצאת דרך הפאות. אם כמות יוצאת גדולה, יש מקור בתוך הקובייה. אם כמות נכנסת גדולה, יש "בולע".
כדי לקבל ערך בנקודה מחלקים את השטף הכולל בנפח הקובייה ולוקחים את הגבול כשהקובייה מתכווצת לנקודה. התכונה הזו מתקשרת למשפט הדיברגנץ (משפט גאוס), שאומר ששטף דרך גבול גוף שווה לסכום המקורות שבתוך הגוף.

יהי \vec F שדה וקטורי גזיר. הדיברגנץ בנקודה p מוגדר כגבול של יחס השטף לנפח:
\nabla \cdot\vec F (p) = \lim_{V \to 0}\frac{\oiint_{\partial V}\vec{F} \cdot d\vec a}{V}.
במרחב קרטזי תלת־ממדי מקבלים את הביטוי הרגיל:
\nabla \cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z},
כאשר F_x, F_y, F_z הם רכיבי השדה בכיווני x,y,z.
יש גם נוסחאות במערכות קואורדינטות שונות. לדוגמה בגליליות ובכדוריות נרשמות נוסחאות שמתחשבות בגורמי הקואורדינטה.

הדיברגנץ הוא ליניארי: \nabla\cdot(\alpha\mathbf{F}+\beta\mathbf{G}) = \alpha(\nabla\cdot\mathbf{F})+\beta(\nabla\cdot\mathbf{G}).
כלל המכפלה עם פונקציה סקלרית נותן:
\nabla\cdot(\varphi\mathbf{F}) = (\nabla\varphi)\cdot\mathbf{F} + \varphi\;(\nabla\cdot\mathbf{F}),
כאשר \nabla\varphi הוא הגרדיאנט של \varphi (וקטור של נגזרות).
יש גם כלל למכפלה וקטורית שמשלב את אופרטור ה'קרל' (curl):
\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

דיברגנץ הוא כלל שמחשב מספר עבור שדה וקטורי. שדה וקטורי זה כמו ציור של חץ בכל נקודה. המספר שאנחנו מקבלים הוא סקלר, כלומר פשוט מספר.

דמיינו קובייה קטנה בתוך זרם מים. מודדים כמה מים יוצאים וכמה נכנסים דרך הפאות. אם יותר מים יוצאים, יש מקור קטנטן בתוך הקובייה.
כדי למדוד מה יש בנקודה מחלקים את ההפרש בנפח הקובייה ומקבלים את הדיברגנץ. זה אומר כמה "ברזים" או "חורים" יש בנקודה.

אפשר להבין דיברגנץ ככמות הזרימה שזורמת החוצה מנקודה, כשבודקים קובייה מאד קטנה סביב הנקודה.

אם מחברים שדות או מכפילים אותם במספר, הדיברגנץ מתנהג בצורה פשוטה ונשאר קונסיסטנטי. יש לו גם קשר לחוקי סיבוב שנקראים "קרל".