דיסקרימיננטה

דיסקרימיננטה היא מדד מספרי הקשור לפולינומים ולמבנים אלגבריים אחרים.

עקרון קצר: עבור פולינום מדרגה n עם שורשים \alpha_1,…,\alpha_n, הדיסקרימינטה מבוססת על מכפלת הריבועים של ההפרשים בין השורשים, עם כפל מתאים של מקדם מוביל. ערך הדיסקרימינטה שווה לאפס בדיוק כאשר יש שורשים כפולים, כלומר שורש שחוזר על עצמו.

בדוגמה פשוטה, בפולינום הריבועי ax^2+bx+c הדיסקרימינטה היא b^2-4ac (כלומר b בריבוע מינוס 4ac). עבור צורת קוביה כמו x^3-ax+b מופיע הביטוי 4a^3-27b^2. כאשר המקדמים הם ממשיים, סימן הדיסקרימינטה קשור למספר השורשים הממשיים.

הדיסקרימינטה ניתנת לחישוב מתוך המקדמים בלבד, ולכן היא שייכת לשדה המקדמים. יש לה גם קשר לחבורת גלואה של הפולינום: שורש הריבועי של הדיסקרימינטה שייך לשדה הבסיס בדיוק כאשר חבורת גלואה מכילה רק התמורות הזוגיות.

בהרחבת שדות מוגדרת תבנית העקבה (trace), שהיא תבנית ביליניארית שמקבלת זוג איברים ומחזירה אלמנט של השדה הקטן. אם בוחרים בסיס של ההרחבה, אפשר לבנות מטריצה של העקבות של מכפלות איברי הבסיס. הדיסקרימינטה של הבסיס היא הדטרמיננטה של מטריצה זו. שינוי בסיס משתנה את הערך רק בכפל בריבוע של איבר מהשדה, ולכן הדיסקרימינטה של ההרחבה מוגדרת עד לכפל בריבוע.

הגדרה דומה חלה על טבעות שלמות ועל מודולים חופשיים. הדיסקרימינטה היא כלי מרכזי בתורת שדות המספרים. למשל, מממשפט מינקובסקי נובע שיש רק מספר סופי של הרחבות מממד קבוע עם דיסקרימינטה נתונה. אמיל ארטין חשב שהדיסקרימינטה יכולה להבחין בין הרחבות, אך ב-1930 Scholz וטוד-טאוסקי הציגו דוגמאות שמראות שלא תמיד זה נכון.

לתבניות ריבועיות שלמות Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 מגדירים דיסקרימינטה D=b^2-4ac. דיסקרימינטה יסודית היא מקרה מיוחד של מספרים אלה. פרופרטיונים מיוחדים מבטיחים שכל דיסקרימינטה יסודית מתאימה באופן יחיד לתבנית ריבועית שלמה.

דיסקרימינטה (או מבחין) היא מספר שעוזר להבין פתרונות של פולינומים.

פולינום הוא ביטוי מתמטי עם חזקות של x. הדיסקרימינטה אומרת אם יש שורש שחוזר. אם היא שווה לאפס יש שורש כפול.

למשוואה מהצורה a x בריבוע ועוד b x ועוד c, הדיסקרימינטה היא b בריבוע פחות 4ac. (זהו ביטוי שמורכב ממספרים a,b,c).
אם הדיסקרימינטה חיובית יש שתי פתרונות ממשיים. אם היא אפס יש פתרון אחד שחוזר. אם היא שלילית אין פתרונות ממשיים.

גם כשמוסיפים מספרים למערכת מגדירים דיסקרימינטה. היא עוזרת למדענים להבין מבנים מתמטיים גדולים יותר.

בתבניות ריבועיות פשוטות Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 גם יש דיסקרימינטה D=b^2-4ac. חלק מהמספרים הללו נקראים דיסקרימינטות יסודיות. הם מתחברים לתבניות בצורה מיוחדת.