הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן שאלות בנייה שהיודות על ידי היוונים והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים.

כל הבניות נעשו לפי כללים ברורים: שימוש רק בסרגל ובמחוגה. סרגל כאן הוא ללא שנתות, כלומר לא מודד אורכים; מחוגה היא כלי לציור מעגלים. רק בסרגל ובמחוגה בלבד מותר לעבוד.

לבסוף הוכיחו באמצעות תורת גלואה, ענף אלגברה שמחקריו עוסקים בתכונות המשוואות והפתירות שלהן, שיש בעיות שלא ניתנות לפתרון במסגרת הזאת. עד להוכחה הזו ניסיונות הפתרון תרמו רבות להתפתחות הגאומטריה, והיוונים המציאו כלים אחרים (עקומות מיוחדות) שהיו מסוגלים לבצע את הבניות החסרות.

הייתה גם בעיה שונה: הוכחת אקסיומת המקבילים, כלומר האקסיומה החמישית של אוקלידס, מתוך שאר האקסיומות. ניסיון לפתור אותה השפיע עמוקות על התפתחות הגיאומטריה.

האגדה מספרת שבשנת 430 לפנה"ס הופיעה מגפה באתונה. האורקל בדלפי ייעץ להכפיל את נפח המזבח הקובייתי לאפולו. האתונאים הגדילו את אורך הצלע פי שניים, אבל כך קיבלו נפח גדול פי שמונה. כך נוצרה השאלה: נתונה צלע של קובייה, כיצד לבנות צלע של קובייה שנפחה כפול?

הבעיה שוותה למציאת קטע שאורכו שורש קובית של 2, כלומר ∛2. היפוקרטס מכיוס ומנכמוס הראו שניתן לפתור אותה בעזרת חיתוך של פרבולה והיפרבולה, עקומות קוניקות (עקומות שמתקבלות מחיתוך מעגל ומישור). דיוקלס השתמש בציסואידה, וניוטון בעקום מסוג limacon. בסופו של דבר ידוע ש-∛2 אינו ניתן לבנייה בסרגל ובמחוגה, ולכן הכפלת הקובייה בלתי אפשרית במסגרת הזו.

תרבוע העיגול היא בניית ריבוע שהשטח שלו שווה לשטח מעגל נתון. שטח המעגל שווה ל-πR^2, ולכן צריך לבנות יחס שכולל את המספר π. בתורת המספרים של בניות נובע שאם ניתן לבנות π ניתן גם לבנות את שורש‏π, ולהפך.

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן, שמראה ש-π הוא מספר טרנסצנדנטי. "טרנסצנדנטי" פירושו מספר שאינו שורש של שום פולינום עם מקדמים שלמים (כלומר אינו אלגברי). מכך נובע שלא ניתן לבנות בסרגל ובמחוגה ריבוע שווה בשטחו לעיגול נתון, כי הבנייה הייתה דורשת יחס שאינו נבנה על ידי פעולות אלגבריות פשוטות.

הבעיה היא: לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. היו שיטות שעשו שימוש ברצועה מסומנת (סרגל עם שני קווי עזר מקבילים) או בכלים אחרים כדי להשלים את החלוקה. עם רצועה שכזו ניתן לפתור את הבעיה.

אולם הוכח שאפילו זווית של 60 מעלות לא ניתנת לחלוקה לשלוש באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, כלומר אי אפשר לבנות זווית בת 20 מעלות בדרך הזאת. הוכחה כללית לאי־הפתירות הזאת נתנה פייר לורן ונצל ב-1837.

בניית מצולעים משוכללים בסרגל ובמחוגה נידונה במסגרת כללית של בניות. מצולע משוכלל בעל שבע צלעות (הפטגון) הוא אחד המקרים המיוחדים שעבורם יש לכך דיון מיוחד בבנייה בסרגל ובמחוגה.

היוונים הקדמונים חשבו הרבה על בעיות של בנייה בגאומטריה. הם רצו לעבוד רק עם סרגל ומחוגה. סרגל ללא סימונים מצייר קו ישר. מחוגה מציירת מעגלים.

האקדה מספרת שאחרי מגפה באתונה אמרו להכפיל את נפח המזבח הקובייתי. אם מגדילים את הצלע פי שניים, הנפח גדול הרבה יותר. השאלה הייתה: איך לבנות קובייה שנפחה בדיוק כפול? זה דורש קטע שאורכו שורש קובית של 2. היוונים השתמשו בעקומות מיוחדות כדי לנסות לפתור זאת, אבל בסרגל ובמחוגה בלבד אי אפשר להשיג את זה.

רוצים לבנות ריבוע ששווה בשטחו לעיגול נתון. זה קשור למספר המיוחד π (פאי). ב-1882 הוכיחו שמספר זה "טרנסצנדנטי". טרנסצנדנטי זה אומר מספר שלא יוצא משורש של משוואה פשוטה. לכן אי אפשר לבנות בעזרת סרגל ומחוגה ריבוע ששווה לשטח מעגל נתון.

הבעיה: לחלק זווית לשלושה חלקים שווים בעזרת סרגל ומחוגה. יש שיטות שמוסיפות כלי נוסף, למשל סרגל עם סימן. עם סרגל כזה זה אפשרי. בלי סימון זה לא תמיד אפשרי. אפילו זווית של 60 מעלות לא ניתנת לחלוקה לשלוש בעזרת סרגל ומחוגה בלבד.

יש גם שאלות על בניית מצולעים מיוחדים, כמו מצולע בן שבע צלעות. על בניית מצולעים משוכללים מדברים במקום אחר.