מחומש

מחומש הוא מצולע בעל חמש צלעות. סכום הזוויות הפנימיות של מחומש הוא 540 מעלות, ויש בו חמישה אלכסונים.

מחומש משוכלל הוא כזה שכל צלעותיו שוות וכל הזוויות שוות. כל זווית פנימית שווה ל-108°. משום ש-108° אינו מחלק את 360°, לא ניתן לרצף את המישור במחומשים משוכללים ללא רווחים.

שטח מחומש משוכלל שאורך צלעו a ניתן לכתוב לפי נוסחאות טריגונומטריות ולהערכה מספרית: A ≃ 1.72048·a^2.
כל האלכסונים במחומש משוכלל שווים זה לזה. אלכסון ביחד עם שתי צלעות מקבילות יוצרים משולשים שמקושרים ל"יחס הזהב" (יחס מיוחד שמופיע בגאומטריה ובטבע). האלכסונים יוצרים את הפנטגרם, הצורה המוכרת בדמות כוכב בחמישה קודקודים.

אפשר לבנות מחומש משוכלל בתוך מעגל בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. אוקלידס תיאר שיטה זאת בספרו יסודות לפני כ-2400 שנה. הרעיון הבסיסי הוא לבחור נקודה על המעגל, לבנות קווים ואנכים דרך מרכז המעגל, ולסמן נקודות חיתוך כך שיתקבלו חמש נקודות שוות בהיקף המעגל.

כל מחומש חוסם וחתום בחתך חרוט; מצולע שמקיים זה נקרא מצולע פונסלה (Poncelet).

חמשת האלכסונים נפגשים בחמש נקודות ויוצרים מחומש פנימי. Clebsch הוכיח ב-1871 שהמחומש הפנימי דומה פרויקטיבית למחומש המקורי. ב-2007 הראה Schwartz שהמאפיין הזה נכון גם לכל מצולע פונסלה עם מספר אי-זוגי של קודקודים.

גאוס גילה שניתן לחשב את שטחו של מחומש על ידי השוואה לשטחים של חמשת המשולשים הקודקודיים (כל משולש נוצר משלשה של קודקודים עוקבים). אם נסמן ב-(i) את שטח המשולש עם הקודקודים (i-1,i,i+1), אז שטח המחומש A מקיים משוואה ריבועית עם מקדמים שהם פונקציות של (0),(1),(2),(3),(4). בפועל המידע הזה מאפשר לחשב את A מבלי לפרק את המחומש למשולשים רגילים.

בעיית אילו מחומשים יכולים לרצף את המישור (לכסות אותו בלי חורים או חפיפות) היא קשה. דוריס שאטשניידר חקרה את התכונה ומאפיינה כמה סוגים. ידועים כיום 13 דפוסים של מחומשים זהים שמאפשרים ריצוף מלא. מרג'ורי רייס גילתה ארבעה מהם, והבעיה הכללית נותרה פתוחה.

מחומש הוא צורה עם חמש צלעות וחמש זוויות. סכום כל הזוויות בו הוא 540 מעלות.

מחומש משוכלל יש בו חמש צלעות שוות וחמש זוויות שוות. כל זווית שווה 108 מעלות. מחומש משוכלל לא מתאים לריצוף המישור לבד.

שטח של מחומש משוכלל גדל לפי אורך הצלע. אם מודדים, השטח הוא בערך 1.72 פעמים אורך הצלע כפול אורך הצלע. "אורך כפול עצמו" זה מה שקוראים לו ריבוע של האורך.

האלכסונים במחומש שווים באורכם. חלק מהמשולשים שנוצרים פנימית קשורים ליחס הזהב. יחס הזהב הוא יחס מיוחד שמופיע בטבע ובאמנות. האלכסונים יוצרים גם צורה של כוכב בחמש קודקודים שנקראת פנטגרם.

מחומש משוכלל אפשר לבנות על ידי ציור מעגל. בוחרים נקודה על המעגל. בונים קווים דרך מרכז המעגל. מסמנים חיתוכים של קווים עם המעגל. כך מקבלים חמש נקודות שוות על המעגל. נקודות אלה הן הקודקודים של המחומש.

יש תכונות מיוחדות של מחומשים שחוקרים מתמטיקאים. מספר דפוסים של מחומשים מאפשרים לכסות את המישור בלי חורים. נכון להיום ידועים 13 דפוסים כאלה. כמה מהם גילו חוקרות חובבות ומתמטיקאים.