הומומורפיזם

הומומורפיזם הוא פונקציה בין שני מבנים אלגבריים מאותו סוג, שומרת על כל המבנה, כלומר על הפעולות, היחסים והקבועים.
מטרה שלו היא לתרגם תכונות מהמבנה הראשון לשני. הומומורפיזם הפיך נקרא איזומורפיזם.


נניח פונקציה φ: A → B שהיא הומומורפיזם. התמונה (Im(φ)) היא הקבוצה של איברי B שמתקבלים מהפעלת φ על A. הגרעין (ker(φ)) הוא אוסף האיברים של A שנשלחים לאיבר האפס של B (האיבר הנייטרלי).
במקרים כמו חבורות, התמונה היא תת-חבורה של B, והגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של A. קיומו של גרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה (למשל חבורת מנה), ואז מתקיים משפט האיזומורפיזם הראשון: A/ker(φ) איזומורפי ל-Im(φ).
ברמה כללית יותר יש הגדרות של תמונה וגרעין בשפת תורת הקטגוריות, אך הן אינן תמיד קיימות בכל קטגוריה.

ניתן להתאים לכל הומומורפיזם קונגרואנציה (יחס שקילות שמתאים למבנה), וקבוצת המנה עם אותו מבנה תהיה איזומורפית לתמונה. זה חשוב במונואידים ובחבורות למחצה.

בקטגוריות נפוצות כמו חבורות, חוגים, מודולים ומרחבים וקטוריים מופיעות התכונות שתוארו לעיל.

הומומורפיזם הוא פעולה בין שני מבנים מתמטיים. פעולה = משהו שמקצה לכל איבר דבר אחד.
הוא שומר על הכללים של המבנים, לכן מעביר תכונות מצד אחד לשני.
הומומורפיזם שפיך נקרא איזומורפיזם.


התמונה היא כל מה שמגיע למבנה השני מהמבנה הראשון.
הגרעין הוא כל האיברים שנשלחים לאפס. אפס = האיבר הנייטרלי.
במקרים כמו חבורות, התמונה היא קבוצה בתוך המבנה השני.
אפשר לחלק את המבנה לפי הגרעין ולקבל את התמונה.

הרעיונות האלה חשובים בחבורות, חוגים, מודולים ומרחבים וקטוריים.