איזומורפיזם
איזומורפיזם זה התאמה בין שני דברים מתמטיים. התאמה כזו שומרת על כל הכללים והפעולות. אם יש אותה התאמה, אומרים ששני הדברים "זהים במבנה". יש שמות מיוחדים לסוגים שונים. הומיאומורפיזם הוא התאמה ששומרת על צורת המרחב. איזומטריה שומרת על מרחקים. אם יש מפה הפיכה בין שני מבנים, והיא שומרת על כל היחסים והפעול...
משפטי האיזומורפיזם
יש שלושה משפטים חשובים באלגברה. הם מדברים על איך אפשר להחליף מבנים בחלקים שלהם ולהשוות ביניהם. אם יש העתקה שמכבדת את המבנה, הומומורפיזם (העתקה ששומרת על פעולות), אז מחלקים את המבנה לפי כל מה שנשלח לנייטרלי. הקבוצה הזאת קוראים לה גרעין (הקבוצה שנשלחת לזהות). התוצאות של ההעתקה קוראים להן תמונה. המ...
קטגוריה:מבנים אלגבריים יחידאים
מבנה אלגברי הוא מערכת עם חוקים לחיבור או לכפל. מבנה יחידאי הוא כזה שיש ממנו רק דוגמה אחת. איזומורפיזם, כשאפשר להתאים איברים וחוקים בין שני מבנים והם נראים זהים. לפעמים מופיעות גם קבוצות קטנות של מבנים כאלה....
אוטומורפיזם
אוטומורפיזם הוא פונקציה מהמבנה לעצמו. הוא שומר על כל הפעולות והוא הפיך. (הפיך = יש לה פונקציה הפוכה.) הומומורפיזם הוא פונקציה בין שני מבנים. הוא שומר פעולות ויחסים. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שיש לו הפוך. כל האוטומורפיזמים של מבנה יוצרים חבורה. חבורה היא קבוצה של פעולות שאפשר להרכיב אחת על השנייה...
הומומורפיזם
הומומורפיזם הוא פעולה בין שני מבנים מתמטיים. פעולה = משהו שמקצה לכל איבר דבר אחד. הוא שומר על הכללים של המבנים, לכן מעביר תכונות מצד אחד לשני. הומומורפיזם שפיך נקרא איזומורפיזם. התמונה היא כל מה שמגיע למבנה השני מהמבנה הראשון. הגרעין הוא כל האיברים שנשלחים לאפס. אפס = האיבר הנייטרלי. במקרים כמו חב...
מערכת הוכחה אינטראקטיבית
הוכחה אינטראקטיבית היא שיחה בין מי שטוען משהו לבין מי שבודק. המוכיח מנסה לשכנע. המוודא בודק. דניאל בארנבוים אמר שהוא למד לנגן את כל היצירות של מוצרט. כדי לבדוק, המראיין בחר יצירה אקראית. בארנבוים ניגן אותה. כך המראיין השתכנע. כאן המוודא בוחר שאלות לא מראש. זה עוזר לא לגלות רמאים. פרוטוקול הוא חו...
מטריקה רימנית
מטריקה רימנית קובעת איך למדוד אורכים וזוויות על שטח חלק. המרחב המשיק הוא המקום שבו מסתכלים על כיוונים בנקודה. המטריקה היא חוק שנותן מספר לכל זוג כיוונים. בעזרת המטריקה אפשר למדוד את האורך של קו. מרחק בין שתי נקודות הוא האורך הקצר ביותר בין שתיהן. כך המטריקה אומרת לנו מי קרוב ומי רחוק. המטריקה גם נ...
עד כדי (מתמטיקה)
"עד כדי" משמש כשמשווים דברים ומתעלמים מפרטים קטנים. "עד כדי סימן" אומר שהגודל זהה, אולי הסימן שונה. לפעמים אומרים ששדות או מבנים אחרים זהים מבחינת הצורה שלהם, למרות שהם שונים במראה. במספרים נכון שאפשר לפרק כל מספר לגורמים ראשוניים בדרך יחידה, רק סדר הגורמים יכול להשתנות. במדע משתמשים בביטוי גם כשיש...
משפט השאריות הסיני
יש משפט מתמטי ישן בשם "משפט השאריות הסיני". הוא התגלה על ידי המתמטיקאי סן-צו. המשפט אומר: אם יש כמה מספרים שמחלקים בלי חופף (הם זרים בזוגות, כלומר המחלק המשותף שלהם הוא 1), אז אפשר למצוא מספר אחד שמתאים לכל שאריות המבוקשות. (שארית = מה שנשאר אחרי חלוקה) הרעיון פשוט. לכל מספר n_i בוחרים מספר גדול...
העתקה ליניארית
העתקה ליניארית היא דרך להמיר וקטורים מאחד לשני. וקטור הוא כמו חץ עם כיוון ואורך. העתקה כזו שומרת על חיבור. כלומר: העתקת שני חצים יחד שווה להעתקת כל אחד ולחיבור התוצאות. היא גם שומרת על כפל במספר (סקלר). סקלר זה פשוט מספר. דוגמה: הפונקציה f(x,y)=(2x,y). היא מרחבת את רכיב ה-x פי שניים. הגרעין זה כל ...