החבורה הסימטרית

במתמטיקה, = החבורה הסימטרית = של קבוצה X היא קבוצת כל התמורות עליה. תמורה היא פונקציה חד-חד ערכית ועל, כלומר, היא ממפה כל איבר לאיבר יחיד ולהפך. הפעולה בחבורה היא הרכבת פונקציות. לחבורה זו נהוג הסימונים S_X או Sym(X).

כאשר X סופית ונרשמת כ-{1,...,n}, כותבים S_n. לחבורה יש n! איברים שנקראים תמורות.

מחזור מסדר r (או אופן ציקלי) מעביר r איברים בסיבוב, למשל (1 4 7 9) מקיים f(1)=4, f(4)=7, f(7)=9, f(9)=1. מחזור באורך 2 נקרא חילוף.

מחזורים זרים (שקבוצות האיברים שלהם נפרדות) מתחלפים. כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של מחזורים זרים, והאורכים שלה יוצרים את מבנה המחזורים, חלוקה של n.

ניתן לכתוב תמורה בשתי שורות: השורה העליונה מציינת את האיברים והשנייה את תמונתם. דוגמה: (1 2 3) = [1 2 3; 2 3 1]. שיטה זו נכונה אך מסורבלת, ולכן משתמשים בדרך כלל בייצוג בצורת מחזורים.

אם f=[1 2 3 4 5; 3 2 1 5 4] ו-g=[1 2 3 4 5; 2 5 4 3 1], אז fg פירושו להפעיל קודם את g ואחר כך את f. ההרכבה היא (1 2 4)(3 5) בדוגמה. בדרך כלל כפל תמורות אינו חילופי, כלומר fg≠gf.

כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של חילופים. תמורה היא זוגית אם אפשר לכתוב אותה כמכפלה של מספר זוגי של חילופים, ואי-זוגית אחרת. הזוגיות מוגדרת היטב למרות שהייצוג בחילופים אינו יחיד.

מגדירים את הפונקציה sign(f)=1 לתמורה זוגית ו-sign(f)=-1 לתמורה אי-זוגית. זו העתקה הומומורפית מ-S_n אל {±1}. גרעין ההעתקה הוא חבורת התמורות הזוגיות A_n, שהיא תת-חבורה נורמלית של S_n ועוצמתה n!/2. עבור n≥5, A_n היא תת-החבורה הנורמלית הלא־טריוויאלית היחידה של S_n. סימן מחזור מאורך k הוא (-1)^{k-1}.

לכל S_n עם n>2 יש מרכז טריוויאלי בלבד. רוב האוטומורפיזמים של S_n הם פנימיים; יוצאת הדופן היא S_6, שיש לה אוטומורפיזם חיצוני. לכן S_n (למעט n=2,6) הן שלמות.

את S_n אפשר ליצור בעזרת שני יוצרים: החילוף (1 2) והמחזור (2 ... n). אפשר גם להשתמש בחילופים הסמוכים σ_i=(i i+1) עם היחסים: σ_iσ_j=σ_jσ_i אם |i-j|>1, יחס הצמה (σ_iσ_{i+1}σ_i=σ_{i+1}σ_iσ_{i+1}), וכל σ_i היא אינבולי (σ_i^2=id).

הצמדה משמרת את מבנה המחזורים: σ (i_1 i_2 ... i_k) σ^{-1} = (σ(i_1) σ(i_2) ... σ(i_k)). לכן מחלקות הצמידות ב-S_n מתאימות למבני מחזורים.

לפי משפט קיילי, כל חבורה סופית נמשלת לתת־חבורה של חבורה סימטרית מתאימה. משפט O'Nan, Scott ממיין את תת-החבורות המקסימליות וחלקן נחלקות לפי האם הן טרנזיטיביות, פרימיטיביות וכדומה.

הייצוגים הליניאריים האי-פריקים של S_n מתאימים לחלוקות של n. מספר ההצגות האי-פריקות שווה לפונקציית החלוקות p(n). בתורת ההצגות המודולרית יש מורכבות נוספת: ההצגות האי-פריקות תואמות לחלוקות p-רגולריות, אך קיימות גם הצגות שאינן אי-פריקות.

חבורה סימטרית היא כל הדרך לסדר מחדש קבוצה של איברים. כל דרך כזו נקראת תמורה. תמורה היא מיפוי שמתאים לכל איבר איבר אחד ושונה.

אם יש לנו את המספרים 1 עד n, כותבים S_n. יש n! תמורות, זה מספר כל הסדרים האפשריים.

מחזור מעביר כמה איברים בסדר מעגלי. דוגמה: (1 4 7 9) עושה 1→4→7→9→1. חילוף מחליף שני איברים בלבד.
מחזורים שאין להם איברים משותפים נקראים זרים. הם ניתנים לסידור בנפרד.

אפשר גם לכתוב תמורה בשתי שורות: השורה העליונה היא המקור והשנייה היא התמונה.
זה עובד, אבל רוב הזמן כותבים בצורת מחזורים.

כפל תמורות פירושו לעשות אחת ואז את השנייה. בדרך כלל הסדר משנה והתוצאה שונה.

כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלה של חילופים. אם משתמשים במספר זוגי של חילופים קוראים לתמורה "זוגית". אחרת קוראים לה "אי-זוגית". קבוצה של כל התמורות הזוגיות נקראת A_n.

לרוב S_n אין מרכז מיוחד. S_6 שונה במשהו בחוקים הפנימיים שלו.

ניתן ליצור את כל התמורות רק בעזרת חילוף אחד ומחזור אחד. אפשר גם להשתמש בחילופים של זוגות סמוכים.

כאשר מצמידים תמורה אחרת למחזור, המבנה של המחזור נשמר. זה מסביר איך מקבצים תמורות דומות.

כל חבורה סופית אפשרית נמצאת בתוך חבורה סימטרית מתאימה. יש משפט שממיין תת-החבורות המקסימליות, אבל הוא מורכב.

ל-S_n יש הצגות ליניאריות שקשורות לחלוקות של n. זו דרך לחקור את המבנה שלהם בעזרת מטריצות.