המישור המרוכב

מישור המספרים המרוכבים הוא דרך להציג מספרים מרוכבים בצורה גאומטרית. הוא נקרא גם "מישור גאוס" על שם קרל פרידריך גאוס. במקום ציר אחד כמו במספרים הממשיים יש כאן שני צירים: האופקי מייצג את החלק הממשי של המספר, והאנכי מייצג את החלק המדומה (החלק שכולל את i).

כל מספר מרוכב מקושר לנקודה במישור: אם המספר הוא x + yi (כאשר x ו-y הם מספרים ממשיים), הוא מיוצג על ידי הנקודה (x,y). הצגה זו נקראת הצגה קרטזית.

ניתן גם להציג מספרים מרוכבים באופן פולארי (קוטבי). במקום חלק ממשי וחלק מדומה, נותנים למספר שני ערכים אחרים: המרחק מראשית הצירים, שמכונה רדיוס r, והזווית θ בין כיוון הציר הממשי החיובי והקטע שמחבר את הראשית לנקודה. מספר עם רדיוס r וזווית θ מיוצג על ידי (r,θ).

היחסים בין שתי ההצגות הם: r שווה למרחק הנקודה מראשית הצירים, ו-θ היא הזווית שמתאימה למיקום הנקודה. מהצגה קרטזית לפולארית ועכשיו גם הפוך ניתן למצוא את x ו-y בעזרת cos ו-sin: x = r cos θ, y = r sin θ. לכן אפשר לכתוב גם x+iy = r(cos θ + i sin θ), שקצרו לפעמים ל-cis θ. לפי נוסחת אוילר אפשר לכתוב זאת עשוי יותר בקורטוב כ־z = r e^{iθ}.

חיבור של שני מספרים מרוכבים מתבצע כמו חיבור וקטורי: קובעים את הקואורדינטות הקרטזיות ומחברים כל רכיב בנפרד. כלומר, חיבור במישור נעשה על ידי הזזה של נקודה לפי הווקטור של המספר האחר.

הצגה קרטזית: הכפל בין שני מספרים מרוכבים בכתב x+iy נותן נוסחה אלגברית שמשלבת מכפלות וחיסורים בין x ו-y.

הצגה פולארית: בכפל פשוטים מאוד לראות את ההשפעה על המישור: רדיוס התוצאה הוא מכפלת הרדיוסים המקוריים, והזווית של התוצאה היא סכום הזוויות. זאת הפשטה שימושית בהרבה בעיות.

על פי משפט דה־מואבר, חזקה n של מספר מרוכב בהצגה פולארית מתקבלת על ידי העלאת הרדיוס בחזקת n וכפילת הזווית ב-n. זו דרך נוחה לחשב חזקות גדולות.

כאשר מוציאים שורש מדרגה n של מספר מרוכב בנקודה הפולארית r,θ, מקבלים n פתרונות אפשריים. כל פתרון נמצא על מעגל רדיוס שווה לשורש ה-n של r, והפתרונות מפוזרים שווה בשווה על המעגל. הם יוצרים קודקודים של מצולע רגיל בעל n צלעות.

מישור המספרים המרוכבים הוא שטח דו־ממדי. שם מציגים מספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר עם שני חלקים: חלק ממשי וחלק מדומה. החלק המדומה מכיל את האות i.

כל מספר מרוכב קשור לנקודה במישור. האופקי מייצג את החלק הממשי. האנכי מייצג את החלק המדומה.

אפשר גם להציג מספרים לפי מרחק וזווית. המרחק הוא כמה רחוקה הנקודה מהאפס. הזווית היא הכיוון שבו הנקודה נמצאת ביחס לציר האופקי.

לחבר שני מספרים מרוכבים זה כמו להזיז נקודה לפי וקטור. מוסיפים כל רכיב בנפרד.

בדרך קרטזית הכפל נותן נוסחה אלגברית מורכבת. אבל בעברית פשוטה: אם משתמשים במרחק וזווית, מרחק התוצאה יהיה מכפלת המרחקים. הזווית של התוצאה תהיה סכום הזוויות.

כשהמכפילים מספר בעצמו n פעמים, מרחק התוצאה נהיה מרחק בחזקת n. הזווית מוכפלת ב-n.

כשמוצאים שורש מסדר n יש כמה פתרונות. הפתרונות יושבים על מעגל. הם מסודרים כמו קודקודי מצולע רגיל.