המלון של הילברט

המָלוֹן של הילברט מתאר בית מלון עם חדרים ממוספרים 1, 2, 3, ... ושאנשים רבים מתאכסנים בו. מספר החדרים הוא אינסופי, כלומר אין סוף לחדרים. זו דוגמה לקבוצה בת-מנייה: ניתן למנות את כל האיברים שלה לפי סדרם.

בסצנה הראשונה כל החדרים תפוסים. מגיע עוד אורח. בעל המלון מבקש מכל אורח בחדר n לעבור לחדר n+1. כך הוא מפנה את חדר 1 לאורח החדש.

בסצנה השנייה מגיעה סדרה אינסופית של אורחים חדשים. הבעלים מזיז כל אורח לחדר הזוגי שמספרו 2n. בכך נפתחים כל החדרים האי־זוגיים, שמאפשרים לשכן את האורחים החדשים.

בסצנה השלישית מגיעים אינסוף אוטובוסים, ובכל אחד מהם אינסוף נוסעים. הבעלים פועל חכם: הוא שוקל מיקומים מיוחדים לחברי כל אוטובוס כך שלא תהיה התנגשות. למשל הוא משתמש במספרים שהם חזקות של מספרים ראשוניים שונים (מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק בעצמו ו‑1). משפט היסוד של האריתמטיקה אומר שלכל מספר יש פירוק ייחודי לפרומו־גורמים, ולכן חלוקה כזו מונעת התנגשות בחדרים.

גרסה אחרת של אותה בעיה משתמשת בזמן: כל אוטובוס מגיע בזמן חצי מהמרווח שנותר עד חצות. בכל הגעה הבעלים מעביר אורחים לחדרים הזוגיים ומשכן את החדשים באי־זוגיים. בשעה חצות עצמו הוא מוצא שכל החדרים ריקים, כי כל אורח פינה בסופו של תהליך חדר שהיה בשבילו.

הסיפור מדגים את האופי הלא־אינטואיטיבי של אינסוף בתורת הקבוצות. קבוצת החדרים היא הקבוצה של המספרים הטבעיים, ועוצמתה מסומנת אלדװ_0 (אלף אפס). בכל אחד מהמקרים בונים התאמה חד‑חד־ערכית (בייצוע שנקרא גם 'התאמה' או 'bijection') בין כל האורחים לבין המספרים הטבעיים. לכן העוצמה הכוללת לא משתנה.

עם זאת, יש אינסוף 'גדול' יותר: עוצמת הרצף של המספרים הממשיים (המספרים עם ספרות אחרי הנקודה) גדולה מאלף אפס. במקרה כזה אי־אפשר להתאים לכל אורח חדר שונה.

רעיונות אלה החלו עם גאורג קנטור. תרומתו עוררה התנגדות, אך לבסוף הוכרה כמכרעת. על כך אמר דויד הילברט שקדושת רעיונות קנטור בלתי ניתנת לערעור.

בעיה אחרת: קבוצה אינסופית של אנשים דורשת חדר לכל תת‑קבוצה של האנשים. כאן בעל המלון לא יוכל לשכן את כולם. זו המחשה של משפט קנטור שאומר שהקבוצה של כל התת‑קבוצות (קרויה 'קבוצת החזקה') גדולה יותר מהקבוצה המקורית.

הרעיון של מלון הילברט מופיע בסיפורים ובכתבים פופולריים, ונוצרו גם שני סרטי קולנוע שעוסקים בו.

יש מלון עם חדרים שמסומנים 1, 2, 3, ... . יש בו אינסוף חדרים. אינסוף אומר "לא נגמר".

כל החדרים מלאים. מגיע אורח נוסף. בעל המלון מבקש מכל אחד לעבור לחדר הבא. מי שהיה בחדר 1 עובר ל‑2. כך חדר 1 מתפנה.

אחר כך מגיעים אינסוף אורחים. הבעלים מזיז כל אורח לחדר זוגי. אז כל החדרים האי‑זוגיים ריקים. הוא שם שם את האורחים החדשים.

לאחר מכן מגיעים אוטובוסים אינסופיים, ובכל אחד אנשים אינסופיים. הבעלים מסדר את הנוסעים כך שלכל אחד יהיה מספר חדר שונה. הוא משתמש בטריק מתמטי שמבטיח שאין התנגשות.

גרסה אחרת: אוטובוסים מגיעים במהירות, כל פעם בחצי מהזמן שנותר עד חצות. בסוף, בשעה חצות, המלון ריק. כל אורח פינה את חדרו לפני חצות.

הסיפור מראה שאפשר למתוח את הרעיון של "כמות" כשיש אינסוף. חלק מהאינסופים קטנים יותר וחלקם גדולים יותר. את חלקם אפשר למנות, ואת חלקם לא.

אם קבוצה של אנשים תבקש חדר לכל תת‑קבוצה שלה, הבעלים לא יצליח. יש יותר תת‑קבוצות מאנשים. זו תוצאה חשובה של המתמטיקאי קנטור.

הרעיון מופיע בסיפורים, ויצאו שני סרטים על המלון של הילברט.