הספירה של רימן

הספֵירה של רימן היא דרך לראות את המישור המרוכב יחד עם נקודה נוספת שנקראת "אינסוף".
כך נקודת האינסוף לא נבדלת מנקודה סופית אחרת. זה מאפשר להגדיר פונקציות שמקבלות ערכים אינסופיים
ולדבר על רציפות וגזירות שלהן גם במקום הזה.

מתמטית, המבנה טופולוגי והומאומורפי לספֵירה הדו־ממדית. זו קומפקטיפיקציה חד־נקודתית של המישור המרוכב,
כלומר מוסיפים נקודה אחת ומקבלים מרחב קומפקטי וסגור.

גאומטרית אפשר לחשוב על זה ככדור רגיל. נקודת ה"צפון" של הכדור מייצגת את נקודת האינסוף.
ההטלה הסטריאוגרפית (מיפוי שמחבר כל נקודה על הכדור לנקודה במישור דרך קו) מחברת בין המישור לספירה.
ישרים במישור הופכים לקווים או למעגלים על הספירה. גם זוויות ומעגלים נשמרים.
ישרים מקבילים נראים כמשיקים זה לזה בנקודת האינסוף.

הפונקציה f(z)=1/z מדגימה את הרעיון: היא מחליפה בין 0 לאינסוף. לפני הוספת האינסוף הפונקציה לא מוגדרת ב-0.
אחרי ההוספה מגדירים f(0)=∞ ו-f(∞)=0, וכך מתקבל הומאומורפיזם בין חלקים שונים של המישור.

לספֵירה של רימן יש מבנה של יריעה אנליטית (יריעה מממד 1 מעל המספרים המרוכבים).
ניתן לכסות אותה בשתי מפתחות שתואמות את המישור המרוכב. לכן היא דיפאומורפית לספירה הרגילה,
קומפקטית ופשוטת קשר.

כל האוטומורפיזמים (הפונקציות ההופכות ששומרות על המבנה) הם העתקות מביוס
מהצורה f(z)=(az+b)/(cz+d) עם מטריצה רגולרית של מקדמים מורכבים.
מכיוון שמגדירים את המטריצה עד כפל בסקלר, חבורת האוטומורפיזמים היא חבורת PGL_2(\u2112).

הספֵירה של רימן היא המישור של המספרים המרוכבים עם נקודה אחת נוספת.
את הנקודה הזו קוראים "אינסוף". אפשר לדמיין את זה ככדור.
נקודת ה"צפון" של הכדור היא האינסוף ונקודת ה"דרום" היא האפס.

יש הטלה סטריאוגרפית. זה מיפוי שמקשר כל נקודה בכדור לנקודה במישור.
קו ישר במישור נראה על הכדור כמעגל. שני קווים מקבילים נפגשים בנקודת האינסוף.
הפונקציה f(z)=1/z מחליפה בין 0 לאינסוף.

לספֵירה יש מבנה חלק שנקרא יריעה אנליטית. זה אומר שאפשר לחשוב עליה כמו על משטח חלק.
היא קטנה וסגורה (קומפקטית) ואין בה חורים גדולים.

יש העתקאות מיוחדות שנקראות העתקות מביוס. הן לוקחות נקודה z ומחליפות אותה לפי נוסחה פשוטה.
הן משאירות את המבנה של הספירה כפי שהוא.