העתקת מביוס

העתקת מביוס (או טרנספורמציית מביוס) היא פונקציה מרוכבת מהצורה T(z)= (a z + b)/(c z + d), כאשר a,b,c,d הם מקדמים מרוכבים כך ש־ad-bc ≠ 0. השם מגיע מהמתמטיקאי הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס.

ההעתקה פועלת על המישור המרוכב המורחב, כלומר על המישור יחד עם נקודה באינסוף (המישור המורחב נקרא ספירת רימן). זוהי העתקה רציפה וחד־חד־ערכית מהכיוון הזה. העתקות מביוס הן מרומורפיות (ניתנות להצגה כנוסחאות חכמות) בכל
C והולומורפיות על ספירת רימן. כדי לטפל בנקודה באינסוף מגדירים באופן טבעי T(-d/c)=∞ ו־T(∞)=a/c; כאשר c=0 זוהי העתקה ליניארית רגילה עם T(∞)=∞.

לכל העתקת מביוס שאינה הזהות יש בדיוק שתי נקודות שבת (נקודות שמקיימות T(γ)=γ), אם סופרים ריבוי אלגברי. במקרים שבהם שתי נקודות אלה מתלכדות ישנה העתקה פרבולית (נקודת שבת יחידה, עם ריבוי). גם אחת מהנקודות יכולה להיות הנקודה באינסוף.

נקודות השבת נקבעות על ידי פתרון המשוואה T(γ)=γ. עבור c≠0 זו משוואה ריבועית
c γ^2 -(a-d) γ - b = 0
והשורשים ניתנים בנוסחה הרגילה; הדיסקרימיננטה היא
Δ=(a+d)^2 - 4(ad-bc).
אם Δ=0 ההעתקה פרבולית. אם c=0 המשוואה הופכת לקוית, ואחת הנקודות עשויה להיות אינסוף; כאשר a=d מתקבלת הזזה טהורה z↦z+β.

באמצעות ההטלה הסטריאוגרפית אפשר לזהות את המישור המרוכב המורחב עם פני הכדור (ספירת רימן). בהצגה זו העתקות מביוס נראות כתנועות של הכדור. חלק מהן הן סיבובים של הכדור; אחרות הן מתיחות/כיווצים ולא מהוות תזוזות מוצקות.

העתקות מביוס שאותן אפשר לתאר כסיבובים טהורים מקבלות צורת יתרון מיוחדת:
f(z)= (α z + β)/(-\overline{β} z + \overline{α}),
כאשר |α|^2+|β|^2=1. אלו נקראות העתקות מביוס אוניטריות, והן מהוות תת־חבורה של כל העתקות מביוס.

מבחינה גאומטרית, נקודות השבת של העתקת מביוס אוניטרית הן תמונות של קטבי הסיבוב של הכדור. הנגזרת המרוכבת בנקודת שבת מייצגת את זווית הסיבוב: |f'(γ)|=1, ולמעשה f'(γ)=e^{iε} כאשר ε היא זווית הסיבוב.
ניתן לייצג את הסיבוב גם בקווטרניונים (אמצעי חישוב לגופים תלת־ממדיים):
q = cos(ε/2) + (η_x i + η_y j + η_z k) sin(ε/2).
במצבים מתאימים נראה קשר ישיר בין המקדמים a,b,c,d לבין הרכיבים של הקווטרניון; לסיכום מקבלים ביטוי שקשור ל־a,c,d,b כקואורדינטות של הקווטרניון.

הרכבת שתי העתקות מביוס שקולות לכפל של המטריצות המתאימות. המטריצה
[[a,b],[c,d]]
מייצגת את ההעתקה T(z)=(a z + b)/(c z + d), וכפל מטריצות מתרגם להרכבה של ההעתקות. כפל בסקלר λ לא משנה את ההעתקה, לכן מזהים העתקות עם מטריצות הפיכות עד כפל סקלרי. מבחינה אלגברית
Aut(\widehat{C}) ≅ PGL_2(C).

מביוס היא פעולה על מספרים מורכבים שעושה כך: לוקחים a כפול z ועוד b, ואז מחלקים ב־(c כפול z ועוד d). המקדמים a,b,c,d הם מספרים מיוחדים כך ש‑ad-bc לא שווה אפס. השם נלקח מהמתמטיקאי מביוס.

הפעולה פועלת על המישור יחד עם נקודה מיוחדת שנקראת אינסוף. אפשר לדמיין את זה ככדור ששמים עליו את המישור בעזרת הטלה סטריאוגרפית (הטלה שמשווה את המישור לכדור).

לרוב יש למביוס שתי נקודות שלא משתנות. לפעמים שתי הנקודות מתלכדות והופכות לנקודה אחת; זה נקרא העתקה פרבולית. אחת מהנקודות יכולה גם להיות הנקודה באינסוף.

כדי למצוא נקודות שלא משתנות פותרים משוואה פשוטה שמקורה ב־T(γ)=γ. ברוב המקרים זו היא משוואה ריבועית עם שני פתרונות. אם היא הופכת לישרה (כשרוכב c=0) יש פתרון יחיד מסוים או הזזה פשוטה z↦z+β.

במבט גיאומטרי, מביוסים הם תזוזות או שינויים של הכדור שמייצג את המישור. חלקם הם סיבובים של הכדור. אחרים מרחיבים או מקטינים מרחקים, ולכן לא נחשבים תנועה קשיחה.

אפשר לייצג כל מביוס במטריצה בגודל 2 על 2. כשמרכיבים שתי העתקות, זה שווה לכפל המטריצות המתאימות. אם מכפילים את כל ערכי המטריצה במספר אחד, ההעתקה לא משתנה. זו דרך נוחה להבין ולהרכיב העתקות.