העתקה ליניארית

העתקה ליניארית (או טרנספורמציה ליניארית) היא פונקציה בין שני מרחבים וקטוריים שמקיימת שתי תכונות עיקריות. היא שומרת על חיבור בין וקטורים (אדיטיביות): T(v+u)=T(v)+T(u). והיא שומרת על כפל בסקלר (הומוגניות): T(αv)=αT(v). כאן "סקלר" הוא מספר מהשדה שמגדיר את המרחב.

התכונות הללו מחזירות תוצאה אחידה גם עבור שילובים ליניאריים: T(Σ λ_k v_k)=Σ λ_k T(v_k). מתוך זה נובע ש-T(0)=0, ולכן אם פונקציה לא מעבירה את האפס לאפס, היא לא ליניארית.

דוגמה פשוטה: f: R^2 → R^2 הנתונה על ידי f(x,y)=(2x,y). זו העתקה ליניארית שממתחתת את הרכיב x בפקטור 2. העקרונות של אדיטיביות והומוגניות נראים בקלות על דוגמאות כאלה.

העתקות יכולות להיות חד-חד ערכיות (חח"ע, injective), על (surjective) או הפיכות. בין מרחבים סופיים, שני מרחבים הם איזומורפיים אם ורק אם יש ביניהם העתקה ליניארית הפיכה, וכאשר הם בעלי אותו מימד.

כל האופרטורים הליניאריים מ-R^n ל-R^m מרכיבים מרחב וקטורי בעצמם. מרחב זה איזומורפי למרחב המטריצות m×n.

הגרעין של T, ker(T), הוא קבוצת הווקטורים שמועתקים לאפס: ker(T)={v | T(v)=0}. הגרעין הוא תת-מרחב של V. התמונה, Im(T), היא קבוצת וקטורי היעד שמתקבלים כתמונות של וקטורים מ-V. גם היא תת-מרחב של W.

למרחב V מממד סופי ו-T:V→W נקבל את משפט הדרגה: dim(Im(T))+dim(ker(T))=dim(V). כלומר המימד של התחום מתחלק לחלק שמאבד מידע (הגרעין) ולחלק שנשאר בתמונה.

כאשר בוחרים בסיסים בבתחום ובטווח, כל העתקה ליניארית מיוצגת על ידי מטריצה. עבור וקטור v הקואורדינטות של T(v) ביחס לבסיס בטווח מתקבל על ידי כפל המטריצה בקואורדינטות של v.

ניתן להעביר את הרעיון גם למרחבים דואליים. ההעתקה הדואלית T*:W*→V* מוגדרת כך ש-(T*(φ))(v)=φ(T(v)). זה מחבר פונקציות ליניאריות על W לפונקציות על V.

העתקה מולטי-ליניארית היא הכללה לפונקציה שלוקחת כמה וקטורים ומקיימת ליניאריות בכל משתנה לבד. הכללה נוספת מובילה למושג הטנזור.

העתקה ליניארית היא דרך להמיר וקטורים מאחד לשני. וקטור הוא כמו חץ עם כיוון ואורך.
העתקה כזו שומרת על חיבור. כלומר: העתקת שני חצים יחד שווה להעתקת כל אחד ולחיבור התוצאות.
היא גם שומרת על כפל במספר (סקלר). סקלר זה פשוט מספר.

דוגמה: הפונקציה f(x,y)=(2x,y). היא מרחבת את רכיב ה-x פי שניים.

הגרעין זה כל הווקטורים שעוברים ל"אפס" אחרי ההעתקה. אפס זה וקטור בלי אורך.
התמונה זה כל הווקטורים שמתקבלים בסוף, אחרי ההעתקה.

יש יחס פשוט: מספר הממדים הכולל מתחלק לשני חלקים. חלק הולך לאפס (גרעין). חלק נשאר בתמונה.

מטריצה היא טבלה של מספרים. היא מייצגת העתקה ליניארית. כופלים מטריצה בווקטור ויוצא וקטור חדש.

אם הפונקציה מקבלת כמה וקטורים ומנהגת כמו ליניארית בכל אחד, קוראים לזה מולטי-ליניארית.