השערת אוילר

בתורת המספרים, השערת אוילר היא הכללה שהציע לאונרד אוילר למשפט האחרון של פרמה. פרמה טען שאם n>2, סכומן של שתי חזקות n-יות (חזקות: חישובים של צירוף מספר עם עצמו n פעמים) שלמים לא יכול להיות חזקה n-ית.

אוילר ידע שפרנסואה וייט מצא ב-1591 אינסוף פתרונות למשוואה a^3 + b^3 + c^3 = d^3. עם זאת, ההשערה נשארה לא מוכחת זמן רב.

ב-1911 מצא R. Norrie דוגמה שמפריכה את הנוסח של אוילר עבור חזקות רביעיות: 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4. בשנת 1966, בעזרת מחשב, נמצא גם נגד־דוגמה לחזקות חמישיות: 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.

ב-1988 הראה נועם אלקיס, בעקבות עבודתו של Demjanenko, שאפשר לפרמטריז את המשוואה x^4 + y^4 + z^4 = 1 כמשפחה של עקומים אליפטיים. עקומים אליפטיים הם עקומים מתמטיים עם מבנה שמאפשר חיפוש נקודות רציונליות (נקודות עם קואורדינטות של שברים). אלקיס הראה שיש אינסוף עקומים כאלה בעלי דרגה חיובית; דרגה חיובית אומרת שיש בהם אינסוף נקודות רציונליות. נקודות רציונליות אלה מתורגמות לפתרונות שלמים ל־A^4 + B^4 + C^4 = D^4.

באמצעות שיטה זו מצא אלקיס פתרונות גדולים, למשל 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4. מחפש ממוחשב שמסייע לו מצא גם את הפתרון הקטן ביותר הידוע: 95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.

הוצעה גם הכללה נוספת להשערת אוילר: למשוואה \sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k אין פתרון כאשר m + n \leq k.

השערת אוילר היא רעיון במתמטיקה על חזקות של מספרים. חזקות הן כפל של מספר בעצמו שוב ושוב.

פרמה אמר שכשמדובר בחזקות גבוהות, סכום של כמה חזקות לא יכול להיות עוד אותה חזקה.

אולם נמצאו דוגמאות שמראות שהרעיונות האלה לא תמיד נכונים. ב-1911 מצאו דוגמה עבור חזקות רביעיות: 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4. בשנת 1966 מחשב מצא דוגמה לחזקות חמישיות: 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.

ב-1988 מצא המתמטיקאי נועם אלקיס דרך להשתמש ב"עקומים אליפטיים". עקומים אלו הם גרפים מיוחדים שעוזרים למצוא פתרונות עם שברים. בעזרתם מצא אלקיס פתרונות נוספים, כולל פתרון גדול ופתרון קטן יותר: 95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.

גם הוצעה כללית נוספת שאומרת: אם מספר המונחים בצדדים קטן או שווה לחזקה, פתרון לא קיים.