התכנסות במידה שווה

התכנסות במידה שווה (התכנסות במ"ש) היא תכונה של סדרות פונקציות וטורי פונקציות.

lim_{n o\infty} sup_{x\in I} |f_n(x)-f(x)| = 0.

כאן I הוא תחום ההגדרה של הפונקציות ו‑sup (סופרמום) הוא הגבול העליון של קבוצת הערכים, כלומר הערך הקטן ביותר שגבוה מכל הערכים האחרים. במילים אחרות, ההפרש המקסימלי בין f_n ל‑f שואף ל‑0.

אותה הגדרה חלה גם על טורי פונקציות: הטור מתכנס במידה שווה אם סדרת סכומי החלקים שלו מתכנסת במידה שווה.

הסדרה f_n(x)=x^n, עבור x ב(0,1), מתכנסת נקודתית לפונקציית האפס f(x)=0. עם זאת, ההתכנסות אינה במידה שווה. הסיבה העיקרית היא שלהיקף ערכים הקרובים ל‑1 ההתכנסות איטית יותר, ולכן אין N יחיד שמתאים לכל הנקודות.

מחקר ההתכנסות משתמש ב‑sup או בנורמת sup, שהיא המדד למקסימום ההפרש בין שתי פונקציות. לבחינה גם בוחנים סדרה של נקודות שמממשות את sup, או בונים בחירות של x שתּוכיח חוסר התכנסות במידה שווה.

התכנסות במידה שווה גוררת התכנסות נקודתית בכל נקודה, אך לא תמיד להפך.

התכנסות במידה שווה שומרת על תכונות חשובות: גבול של פונקציות רציפות יהיה רציף, ושימור אינטגרביליות תחת תנאים מתאימים. בתנאים מסוימים (משפטים כמו משפט דיני) התכנסות נקודתית מובילה גם להתכנסות במידה שווה.

בנוסף, במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת ה‑sup, התכנסות לפי המטריקה שווה בדיוק להתכנסות במידה שווה.

התכנסות במידה שווה פירושה שכל הפונקציות בסדרה מתקרבות לאותה פונקציה באופן דומה בכל המקום.

המרחק הגדול ביותר בין הפונקציות לגבול שואף ל‑0. כאן "המרחק הגדול ביותר" הוא ה‑sup, כלומר הערך הכי גדול בין ההפרשים.

קחו את f_n(x)=x^n על הקטע בין 0 ל‑1. לכל x קטן מ‑1 הערכים יורדים לאט לאפס. אבל ליד 1 הם יורדים איטי מאוד. לכן ההתכנסות לא אחידה, כלומר לא במידה שווה.

אם כל הפונקציות היו רציפות (אין להן קפיצות), גם הגבול יהיה רציף. רציפות אומרת שאין קפיצות בגרף.

התכנסות במידה שווה חשובה כי היא שומרת על תכונות חשובות של הפונקציות, כמו רציפות וחישוב השטח מתחת לגרף (אינטגרציה).