התכנסות נקודתית
התכנסות נקודתית פירושה: עבור כל נקודה x, המספרים f_n(x) מתקרבים למספר אחד. זו דרך לבדוק מה קורה בנקודה אחרי הרבה צעדים. פונקציית הגבול היא הפונקציה שמקבלת את המספרים האלה בכל נקודה. יש רשימה ארוכה של פונקציות f_1,f_2,f_3,... . אם עבור נקודה x כל הערכים f_n(x) מתקרבים לאותו מספר, אומרים שהסדרה מתכנס...
התכנסות במידה שווה
התכנסות במידה שווה פירושה שכל הפונקציות בסדרה מתקרבות לאותה פונקציה באופן דומה בכל המקום. המרחק הגדול ביותר בין הפונקציות לגבול שואף ל‑0. כאן "המרחק הגדול ביותר" הוא ה‑sup, כלומר הערך הכי גדול בין ההפרשים. קחו את f_n(x)=x^n על הקטע בין 0 ל‑1. לכל x קטן מ‑1 הערכים יורדים לאט לאפס. אבל ליד 1 הם יו...
תוכנית ההתכנסות
בשנת 2006 אהוד אולמרט הציע "תוכנית ההתכנסות". התוכנית רצתה לפנות חלק גדול מההתנחלויות. התנחלויות הן יישובים של ישראלים מחוץ למדינה. התושבים היו אמורים להתרכז בשלושה אזורים גדולים: מעלה אדומים, אריאל ועציון. חלק מהיישובים מחוץ לגדר לא היו צפויים להיפנות. היו תכנונים להעביר כ-60 יישובים לגושים אלה....
משפט ההתכנסות הנשלטת
יש משפט מתמטי של לבג על חישוב שטחים מתחת לעקומות. אם סדרה של פונקציות מתקרבת לנקודה, ויש פונקציה אחת g שמגבילה אותן בגודל, אז אפשר לחשב את השטח של הגבול על ידי לקיחת הגבול של השטחים. "אינטגרל" כאן פירושו השטח תחת העקומה. "נשלטות" פירושו שכל פונקציה קטנה או שווה בגודל ל־g. בכל מקום שבו הפונקציות מתכ...
רדיוס התכנסות
רדיוס ההתכנסות הוא המרחק מהמרכז שבו טור חזקות "עובד". טור חזקות הוא סכום של מספרים שנכנסים לחזקות של (z-a). רדיוס זה יכול להיות אפס, מספר חיובי או אינסוף. נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת נקראת סינגולריות. המרחק לסינגולריות הקרובה קובע לעתים קרובות את הרדיוס. אם יודעים את כל המספרים במקדמים, אפשר לחשב ...
מבחני התכנסות לטורים
טור אינסופי הוא סכום של הרבה מאוד מספרים. לעתים אין סוף ואנחנו רוצים לדעת אם הסכום מגיע למספר קבוע בסוף. אם האיברים של הטור לא שואפים לאפס אז הטור לא יתכנס. אם כל האיברים חיוביים, הסכום רק גדל. אם הוא לא מפסיק לגדול, הטור מתבדר. משווים טור לטור ידוע. אם הטור הידוע מתכנס והאיברים של הטור הנבדק...
התמרת Z
התמרת Z היא דרך לשנות סדרה של מספרים (אות בדיד) לתמונה שעוזרת להבין את התדרים שבה. כדי לקבל את התמונה לוקחים סכום על כל האיברים בסדרה עם כח של z. הזן כאן הוא מספר במישור המרוכב. אם הסדרה מתחילה ב-n=0 בלבד, משתמשים בסכום מ-n=0 ואילך. זה מתאים לאותות שמתחילים ברגע מסוים. אפשר להחזיר את האות המק...
גבול (טופולוגיה)
גבול בטופולוגיה הוא רעיון שמרחיב את מה שלמדנו בחשבון. נקודת גבול של קבוצה היא נקודה שכל פעם שנבדוק סביבה שלה נמצא שם עוד נקודה מהקבוצה. נקודת גבול נקראת גם נקודת הצטברות. גבול של סדרה הוא נקודה שהסדרה מתקרבת אליה. זה אומר שלבסוף כל איברי הסדרה נמצאים קרוב לנקודה. לפעמים סדרות לא מספיקות. אז משת...
אבולוציה מתכנסת
אבולוציה מתכנסת היא כשהיצורים מתפתחים להיות דומים בלי קשר משפחתי. לחץ ברירה הוא כוח מהסביבה שמעדיף תכונות טובות להישרדות. אם הסביבה קשה ולזמן ארוך, יש יותר סיכוי שהיצורים ייראו דומים. זה שונה מאבולוציה מתבדרת. שם מין אחד מתחלק למינים שונים. התכנסות מורפולוגית פירושה שחלקי גוף הופכים דומים. מבנים...
שיטת המיתר
שיטת המיתר עוזרת למצוא מספר שבו פונקציה שווה לאפס. פונקציה היא כלל שמקבל מספר ומחזיר מספר. "שורש" הוא המספר שגורם לפונקציה להיות אפס. עובדים כך: מתחילים עם שני ניחושים של המספר. בגרף לוקחים את שתי הנקודות של הפונקציה באותם ניחושים. מציירים קו ישר בין שתי הנקודות. מוצאים איפה הקו הזה חותך את ציר ה...
משפט נקודת השבת של בנך
משפט בנך אומר שיש נקודה שקוראים לה נקודת שבת. זו נקודה שבה f נותנת חזרה את אותה נקודה. המשפט חשוב במתמטיקה מכיוון שהוא מבטיח שכל תהליך מסוים ימצא נקודה כזו. אם עובדים במרחב שבו מודדים מרחקים ויש פונקציה שמקטינה תמיד את המרחק בין נקודות בערך קבוע q קטן מ־1, אז קיימת נקודת שבת אחת בלבד שמקיימת f(x)=x...
מרחב מטרי
מרחב מטרי הוא קבוצה שיש עליה דרך למדוד מרחקים. הדרך הזאת נקראת מטריקה. מטריקה אומרת כמה שתי נקודות קרובות או רחוקות. הישר הוא דוגמה פשוטה: המרחק בין מספרים מוכר לכולנו. גם המישור או המרחב סביבנו הם דוגמה. על כדור אפשר למדוד מרחק על ידי הקשת הקצרה שמחברת שתי נקודות. אפשר גם להגדיר מטריקה פשוטה: מרחק...
טור (מתמטיקה)
טור הוא חיבור של הרבה מספרים אחד אחרי השני. לדוגמה, 1+2+3 הוא טור שסכומו 6. טור סופי הוא חיבור של מספר סופי של איברים. כותבים את זה בקיצור בעזרת סימן סכום. בטור טלסקופי חלק מהמספרים מתבטלים. כך קל למצוא את הסכום. לדוגמה, סכום של 1/(n(n+1)) עד n נותן 1-1/(n+1). כשהn גדול מאוד, התוצאה מתקרבת ל־1. ט...
סדרת קושי
סדרת קושי היא רשימה של מספרים. אומרים שסדרה היא קושי אם כשהולכים לאיברים שאחרי, הם מתקרבים זה לזה. איבר הוא מספר במיקום בסדרה. מרחב מטרי הוא מקום שבו מודדים מרחק בין נקודות. אם המרחב שלם, כל סדרת קושי מתקרבת למספר קרוב. המספרים הממשיים הם דוגמה למרחב כזה. יש מקומות שאינם שלמים. למשל בקטע (0,1) ה...
סדרה (מתמטיקה)
סדרה היא רשימה מסודרת של פריטים. כל פריט מקבל מקום מספרי. סדרה יכולה להיגמר או להמשיך בלי סוף. סדרה שסופית נקראת גם רשימה. כותבים איברים בדרך כלל כך: a1,a2,a3,… . המספר אחרי האות מראה את המיקום. התכנסות פירושה שהאיברים מתקרבים לערך מסוים. חסומה משמעותה שהמספרים לא גדלים בלי סוף. סדרת קושי היא כ...
טור חזקות
טור חזקות הוא סכום של חזקות של x סביב נקודה c. כל חלק נקרא a_n(x-c)^n. a_n הם המקדמים. טורי חזקות עובדים טוב בתוך מרחק מסוים מ-c. המרחק הזה נקרא רדיוס התכנסות. אם הרדיוס גדול מאוד, הטור עובד כמעט תמיד. לכל טור יש דרך לחשב את המרחק הזה. אפשר לחבר או לחסר טורים על ידי חיבור המקדמים. מכפלה של טורים י...
שיטת החצייה
שיטת החצייה עוזרת למצוא נקודה שבה פונקציה שווה לאפס. נקודה כזו נקראת שורש. יש להתחיל עם שני נקודות a ו-b שיש להן סימנים שונים בפונקציה. זאת אומרת, בערך אחד הפונקציה חיובית ובשני שלילית. לאחר מכן מוצאים את הנקודה באמצע בין a ל-b. אם שם הפונקציה שווה לאפס, נגמר. אם לא, בוחרים את החצי שבו השילוב של הע...
הלמה של פאטו
למת פאטו אומרת משהו על אינטגרלים של סדרת פונקציות. אינטגרל הוא דרך לחשב שטח מתחת לגרף. אם יש סדרה של פונקציות שאינן שליליות ונמדדות, אז האינטגרל של הגבול התחתון שלהן קטן או שווה לגבול התחתון של האינטגרלים. "גבול תחתון" (liminf) הוא הערך שהחלקים הקטנים של הסדרה מתקרבים אליו. בוחרים פונקציות חדשות...
שיטת ניוטון-רפסון
שיטת ניוטון-רפסון עוזרת למצוא מקום שבו פונקציה שווה אפס. מקום כזה נקרא שורש. משיקים הם ישרים שנוגעים לגרף במקום אחד. נגזרת היא שיפוע המשיק, כלומר כמה הפונקציה עולה או יורדת. מחשבים כך: בוחרים נקודה התחלית. בונים את המשיק לגרף שם. רואים איפה המשיק חותך את ציר ה-x. הנקודה הזו היא ההשערה הבאה. חוזרים ...
טור פורייה
טור פורייה הופך גל מסובך ל"תערובת" של גלים פשוטים. הגלים האלה הם סינוסים וקוסינוסים. כך אפשר להבין ולקרב פונקציות שחוזרות על עצמן. כל פונקציה שחוזרת על עצמה אפשר לכתוב כסכום של גלים פשוטים. לכל גל יש מספר (מקדם) שמראה כמה הוא חזק. מקדמים אלה מחשבים באינטגרל (חישוב שמשקלל שטח). אם הפונקציה היא f(x)...
פונקציה פשוטה
פונקציה פשוטה לוקחת רק כמה ערכים שונים. פונקציה פשוטה בונה מערכים על קבוצות. כל מקטע הוא מספר קבוע על קבוצה. פונקציית מציין היא פונקציה שמקבלת 1 בתוך קבוצה ו־0 מחוץ לה. "מידה" היא כמו גודל של קבוצה. בדרך כלל בוחרים קבוצות שמודדות. אפשר להשתמש בפונקציות פשוטות כדי להתקרב לפונקציות גדולות יותר. האינטג...
פונקציה אנליטית
פונקציה אנליטית היא פונקציה שאפשר לכתוב כסכום של חזקות של x. טור חזקות זה הוא כמו סכום של הרבה מונחים עם x, x^2, x^3 ועוד. אם הסכום הזה עובד בסביבה של נקודה, הפונקציה אנליטית שם. מבחן השורש (בדיקה של טורים) מראה שאפשר לגזור טור חזקות מונח־מונח. לכן פונקציה אנליטית ניתנת לגזירה הרבה פעמים. דוגמה קלה...
התיקון הראשון לחוקת ארצות הברית
התיקון הראשון אושר ב־1791. הוא נותן חמש זכויות חשובות. הזכויות הן: חופש הדת, חופש הדיבור, חופש העיתונות, זכות להתכנס יחד וזכות לפנות לממשלה. הטקסט המקורי נמצא בחוקת ארצות הברית באנגלית. התרגום אומר שהקונגרס לא יקים דת רשמית ולא יאסור על אנשים להתפלל. הוא גם לא יאסור על אנשים לדבר או על עיתונים לפר...