התפלגות בולצמן

התפלגות בולצמן מתארת את ההסתברות שמערכת בשיווי משקל תרמי עם מאגר חום בטמפרטורה T תהיה במצב מסוים בעל אנרגיה E_i. נוסחה מרכזית היא: p_i = exp(-E_i / k_B T) / Z, כאשר k_B הוא קבוע בולצמן, ו‑Z היא פונקציית החלוקה (הסכום של גורמי exp עבור כל המצבים).

הרעיון הכללי הוא שככל שאנרגיית מצב גבוהה יותר, ההסתברות להימצא בו קטנה יותר. בקנה מידה תרמי הפרש אנרגיות שנמצא באוכלוסיה הוא בסדר גודל של k_B T. בגבול של T שואף לאפס, כל החלקיקים נוטים להימצא במצב היסוד, אלא אם יש יותר ממצב יסוד אחד, במצב כזה מצב היסוד מנוון והאנטרופיה אינה אפס גם ב‑0 קלווין.

התפלגות בולצמן מתאימה לצבר קנוני. צבר (ensemble) הוא אוסף מערכות דומות, שנספרות לפי המצבים המיקרוסקופיים שלהן, ומאפשרות לתאר מערכות בשיווי משקל בעזרת הסתברויות סטטיסטיות. עבור מערכות קלאסיות, התפלגות זו נותנת את התפלגות מקסוול־בולצמן למהירויות. כמו כן, ההתפלגות היא מעריכית וחסרת זיכרון (memoryless).

עקרון ארגודיות טוען שמערכות דינמיות מבקרות את מרחב המצבים כך שההסתברויות שנצפות תואמות לתוצאות הסטטיסטיות. לכן גם דגימה של חלקיק יחיד לאורך זמן ארוך נותנת את אותה התפלגות.

ההיגיון הגזירי הוא שמצב מקרוסקופי סביר הוא זה שממקסם את מספר המיקרו‑מצבים התואמים לו. האנטרופיה S ניתנת לפי נוסחת בולצמן S = k_B ln W, כאשר W היא פונקציית הריבוי (כמספר ההתפלגויות המולטי־נומי). בעזרת קירוב סטרלינג ל־N! ומשיטת כופלי לגראנז' מטילים אילוצים של מספר החלקיקים הקבוע והאנרגיה הכוללת הקבועה.

מחשבה זו מובילה לכך שמספר החלקיקים n_i ברמת האנרגיה E_i פרופורציוני ל־exp(-β E_i), כאשר β נקבע כ־1/(k_B T). נורמליזציה לפי סכום כל גורמי ה־exp נותנת את הביטוי של p_i המפורסם עם Z בפנים. דוגמה שימושית: אם התפלגות בולצמן מנבאת 1/2, 1/3 ו־1/6 לשלוש רמות, אז חלקיק יחיד יהיה ברמת היסוד חצי מהזמן, ברמה השנייה שליש מהזמן, ובשלישית שישית מהזמן, בהנחה של דגימה לאורך זמן רב.

התפלגות בולצמן אומרת כמה סביר למצוא מערכת במצב עם אנרגיה מסוימת בטמפרטורה נתונה. טמפרטורה היא מדד של חום. אנרגיה היא כמות שהמערכת מכילה.

הרעיון העיקרי פשוט: מצבים עם אנרגיה גבוהה פחות סבירים. כשחם יותר, קל יותר למצוא מצבים אנרגטיים. כשקר מאוד, כמעט כל החלקיקים יהיו במצב הכי נמוך של אנרגיה שנקרא מצב יסוד. אם יש כמה מצבי יסוד, אז עדיין יש קצת אי־ודאות (אנטרופיה). אנטרופיה היא מדד לכמה דרכים שונות אפשר להגיע לאותו מצב.

מדברים על "צבר", זה כמו קבוצת מערכות דומות שמחשבים עליהן ביחד. אפשר גם להביט על חלקיק אחד לזמן ארוך. התפלגות בולצמן אז אומרת מה האחוזים של הזמן שהוא נמצא בכל מצב.

דוגמה: אם יש שלוש רמות אנרגיה, אפשר לקבל חלוקה כמו חצי, שליש, ושישית. זה אומר שחלקיק יחיד יהיה ברמת היסוד חצי מהזמן.

התפלגות זו מסבירה גם למה במהירויות של גזים רואים התפלגות מיוחדת שנקראת מקסוול־בולצמן. היא חשובה כי היא מתארת מאזנים של חום ואנרגיה.

יש מערכות שלא בשיווי משקל. למשל השמש נותנת אנרגיה לאטמוספירה וכך יוצרים מזג אוויר. בלייזר דוחפים מערכת החוצה מהשיווי משקל כדי ליצור אור חזק.

המחשבה הפשוטה מאחורי הגזירה היא שרוצים את מספר המיקרו־מצבים הגדול ביותר. כלומר רוצים שאפשרויות רבות יתאימו לאותו מצב־מקרוסקופי. בחישוב מתמטית זה מוביל לכך שכמות החלקיקים בכל רמת אנרגיה יורדת עם האנרגיה, לפי חוק מעריכי. בצורה זו מקבלים את התפלגות בולצמן.