התפלגות מעריכית

התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה על המספרים האי‑שליליים. היא מתאימה לזמן עד אירוע שמשתנה אקראית אך מתרחש בקצב קבוע.

פונקציית הצפיפות היא f(x)=λ e^{-λ x} עבור x≥0, כאשר λ>0 הוא פרמטר הקצב. אפשר להגדיר גם τ=1/λ כפרמטר פיזור.

פונקציית ההתפלגות המצטברת היא F(x)=1−e^{-λ x} עבור x≥0.

התפלגות זו מתארת מצבים כמו התפרקות רדיואקטיבית, הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי, וזמני שירות בתורים. כאשר מרווחי הזמן בין אירועים בלתי תלוים ומתפלגים מעריכית, מספר האירועים בתקופה נתונה מתפלג פואסונית.

התוחלת (הממוצע) היא 1/λ. השונות היא 1/λ^2. החציון הוא ln(2)/λ.

התפלגות מעריכית היא חסרת זיכרון: ההסתברות להמתין עוד זמן אינה תלויה בזמן שכבר חלף. זו התכונה שמאפיינת אותה באופן יחיד.

השברון הכללי של רמת p הוא −(1/λ) ln(1−p). חצי החיים (חציון) הוא ln(2)/λ.

המינימום של משתנים מעריכיים בלתי תלויים הוא גם מעריכי, עם פרמטר שהוא סכום הקצבים.

המקסימום של משתנים מעריכיים אינו מעריכי. עבור משתנים זהים ההסתברות שהמקסימום קטן מ‑x היא (1−e^{-λ x})^n.

מבין כל ההתפלגויות הרציפות על [0,∞) עם תוחלת נתונה, ההתפלגות המעריכית מקסימלית אנטרופית (כלומר הכי בלתי־מוסברת).

פונקציית הסיכון (hazard) קבועה ושווה ל‑λ. משמעותה: קצב הכישלון לא משתנה בזמן.

זו מקרה פרטי של התפלגות גמא (פרמטר צורה=1) ושל וייבול (צורה=1). ההיפוך של משתנה אחיד יוצר משתנה מעריכי, וההבדל בין שני מעריכיים זהים הוא בעל התפלגות לפלס. בהתנהגות בדידה, התפלגות גאומטרית היא האנלוג הבודד של חוסר הזיכרון.

באמידת נראות מרבית לפרמטר λ ממדגם בלתי תלוי, האומד הוא n חלקי סכום התצפיות, כלומר λ̂ = n / Σ x_i.

התפלגות מעריכית היא דרך לתאר זמן המתנה עד שמשהו קורה.
היא מתאימה כאשר ההסתברות שהאירוע יתרחש היא קבועה בזמן.

יש נוסחה מתמטית שמקבלת פרמטר שנקרא קצב. הקצב אומר כמה מהר דברים קורים.

משתמשים בה כדי לתאר זמן עד שנורה נשרפת, עד שמולקולה מתפרקת, או עד שסוף תור מגיע.
גם במספר אירועים בזמן קבוע מקבלים התנהגות שקוראים לה פואסון.

הממוצע של הזמנים הוא ההיפך של הקצב. כלומר אם הקצב גדול, הזמן הממוצע קצר.
התפלגות זו מיוחדת כי מה שקרה עד עכשיו לא משנה את הזמן שנותר.
זה נקרא חוסר זיכרון.

זהו מקרה מיוחד של התפלגות גמא. אפשר להפיק משתנה כזה גם ממספרים אקראיים אחרים.

אם מודדים הרבה זמנים, האומד לקצב הוא מספר התצפיות חלקי סכום הזמנים.