התפלגות בינומית

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה שמחשבת כמה הצלחות יהיו בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים. ניסוי ברנולי הוא ניסוי עם שתי תוצאות בלבד, הצלחה או כישלון, וההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא p.

p_X(k) = Pr(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

הנוסחה אומרת: ההסתברות לקבל בדיוק k הצלחות היא מספר הדרכים לבחור את ה־k הצלחות מתוך n, המכפלה של p לכל הצלחה, ושל q=1-p לכל כישלון. \binom{n}{k} הוא המקדם הבינומי, מספר הדרכים לבחור k פריטים מתוך n.

סכום ההסתברויות לכל הערכים מ־0 עד n שווה ל־1. זה נובע מנוסחת הבינום, כי (p+q)^n=1.

התוחלת (ערך ממוצע צפוי) של משתנה בינומי היא np. השונות (מידת הפיזור) היא npq, כש־q=1-p.

מטילים מטבע שבע פעמים עם הסתברות ״עץ״ p=0.6. אם X הוא מספר הפעמים שיוצא עץ, אז X ~ Bin(7,0.6). ההסתברות לקבל בדיוק ארבע פעמים עץ היא
Pr(X=4)=\binom{7}{4}·0.6^4·0.4^3≈0.290304.

המשפט הכללי נשמר גם עבור הפרמטרים של ההתפלגות הבינומית השלילית. בנוסחה מופיעה פונקציית גמא, שהיא הרחבה של עצרת (פקטוריאל) לערכים לא שלמים.

אם X~Bin(n,p) ו־Y~Bin(m,p) בלתי תלויים, אז X+Y~Bin(n+m,p). כלומר סכום של שתי בינומיות עם אותו p הוא גם בינומי.

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של בינומית כאשר n=1. אפשר לראות כל Bin(n,p) כסכום של n ברנולי בלתי תלויים.

כאשר n גדול ו־p קטן כך ש־np=λ קבוע, אפשר לקרב את הבינומית בפואסון עם פרמטר λ.

עבור n גדול והיעדר סימטריה חמור, אפשר לקרב את הבינומית בנורמלית N(np,np(1-p)). נהוג להשתמש בתיקון רציפות כדי לשפר את הקירוב.

קיימים קשרים נוספים בין משיכות עם החזרה וללא החזרה, והרבה תכונות נוספות של ההתפלגויות הקשורות.

התפלגות בינומית מספרת כמה הצלחות יהיו מתוך n ניסיונות. ניסוי ברנולי הוא ניסיון עם שתי תוצאות: הצלחה או כישלון. ההסתברות להצלחה בכל ניסיון נקראת p. ההסתברות לכישלון נקראת q, והיא שווה ל־1-p.

אם רוצים בדיוק k הצלחות, מחשבים את מספר הדרכים לבחור אותן. מכפילים את זה ב־p^k וב־q^{n-k}. כך מקבלים את ההסתברות לקבל בדיוק k.

אם נסכום את כל ההסתברויות מ־0 עד n, נקבל 1. זאת כי (p+q)^n שווה ל־1.

התוחלת היא המספר הממוצע של ההצלחות. היא שווה ל־np. השונות היא כמה התוצאות שונות מהצפוי. היא שווה ל־npq.

המטיל מטבע שבע פעמים. ההסתברות לקבל עץ בכל הטלה היא 0.6. הסיכוי לקבל ארבעה עצים בדיוק הוא כ־0.29.

ברנולי היא בינומית עם n=1. סכום של שתי בינומיות עם אותו p נותן בינומית חדשה. כאשר n גדול ו־p קטן, אפשר לקרב לבינומית בפואסון. כאשר n גדול, אפשר גם לקרב לנורמלית.