התפלגות נורמלית

התפלגות נורמלית היא התפלגות מרכזית בסטטיסטיקה. היא מופיעה בכל מקום שבו מחשבים ממוצע של הרבה תצפיות, לפי משפט הגבול המרכזי, הממוצע של משתנים רבים נוטה להתפלג בהתפלגות נורמלית לאחר תקנון. דוגמאות נפוצות הן גובה אנשים, שגיאות מדידה אקראיות ומדדים פסיכומטריים שתוכננו כך שיתפלגו נורמלית.

התפלגות נורמלית סטנדרטית (Z) היא מקרה מיוחד עם תוחלת 0 ושונות 1. תוחלת היא הממוצע הצפוי של המשתנה, ושונות היא מדד לפיזור הערכים סביב הממוצע. באמצעות מתיחה (כפל בקבוע) והזזה (הוספת קבוע) של ההתפלגות הסטנדרטית מקבלים כל התפלגות נורמלית אחרת, שהיא מזו משפחה של התפלגויות שנקבעות לפי שני פרמטרים: תוחלת ושונות.

ההתפלגות נקראת גם גאוסיאנית על שם קרל פרידריך גאוס, ולעיתים "עקומת פעמון" בגלל צורת הגרף שלה. היא סימטרית סביב הממוצע ויש לה נקודות פיתול במרחק סטיית תקן אחת מהממוצע. סימון מקובל למשתנה שמתפלג כך הוא X ~ N(μ, σ²).

דה מואבר השתמש בקירוב זה לראשונה ב-1733 עבור ההתפלגות הבינומית. לפלס תיאר אותה עבור "שגיאות" ב-1783. גאוס פיתח את הצורה המודרנית שלה ב-1809, ועבודתו אפשרה פיתוח שיטות סטטיסטיות רבות. גם אדולף קטלה הצביע על הופעתה בטבע עבור תכונות כמו גובה.

פונקציית הצפיפות (density), שמייצגת את צפיפות ההסתברות בנקודה, מקבלת ערכים גבוהים סביב הממוצע ויורדת כשנמצאים רחוק ממנו. היא מבוססת על איבר מעריכי שמקטין את ההסתברות ככל שהמרחק מהממוצע גדול יותר. עבור ההתפלגות הסטנדרטית הפרמטרים הם 0 ו-1.

פונקציית ההתפלגות המצטברת (cumulative distribution function) נותנת את ההסתברות שמשתנה יהיה קטן או שווה לערך מסוים. ערכיה של הפונקציה הסטנדרטית משמשים לחישוב ערכים עבור כל התפלגות נורמלית באמצעות תקנון של המשתנה ל-Z.

חישוב מדויק של פונקציית ההתפלגות המצטברת נעשה בדרך כלל באמצעות טבלאות או שיטות נומריות, כי אין לה ביטוי אלמנטרי פשוט. קיימים גם קירובים שימושיים לחישובים בקיצון.

ההתפלגות סימטרית, נקבעת על ידי ממוצע ושונות, ומשתנים מתפלגים נורמלית מופיעים לעתים קרובות כשמדברים על ממוצעים וטעויות מקריות.

בתכנות משתמשים בטכניקות להפיק ערכים שנראים נורמליים מתוך מספרים אקראיים אחידים. שיטות נפוצות כוללות חיבור של הרבה משתנים אחידים (חוק המספרים הגדולים), שימוש בהיפוך של פונקציית השגיאה (הפכית של erf) או טרנספורמציות מיוחדות כמו שיטת בוקס-מולר שממירה שני משתנים אחידים לשני משתנים נורמליים.

מבחני נורמליות בודקים אם אוסף נתונים יכול להגיע מהתפלגות נורמלית. ההשערת האפס בדרך כלל היא שהנתונים נורמליים, ויש עשרות מבחנים שונים שמודדים זאת.

הכללה לווקטורים של משתנים נקראת התפלגות רב-נורמלית (גאוסיאנית). משמעות הדבר היא שכל צירוף ליניארי של הרכיבים מתפלג נורמלית. התכונה הזו שימושית בתיאוריה וביישומים סטטיסטיים, והיא נקשרת למטריצת השונויות המשותפות של הרכיבים.

התפלגות נורמלית היא צורת הסתברות שנראית כמו עקומת פעמון. העקומה באמצע גבוהה ושני הצדדים יורדים.

היא מופיעה כשהם מחשבים ממוצע מ-הרבה מדידות. למשל, גובה אדם או טעויות קטנות במדידות. לכן משתמשים בה במדידות ובמבחנים.

מתמטיקאים כמו דה מואבר ולפלאס ראו את העקומה כבר במאה ה־18. גאוס עיבד אותה בסוף המאה ה־18 ותחילת ה־19, לכן קוראים לה גם גאוסיאנית.

פונקציית הצפיפות אומרת כמה סביר לקבל ערך מסוים. בעקומת הפעמון הערך הכי סביר הוא במרכז.

זוהי פונקציה שמחשבת את ההסתברות לקבל ערכים עד ערך נתון. משתמשים בטבלאות או במחשב כדי לחשב אותה.

תכנתים מייצרים מספרים נורמליים על ידי חיבור הרבה מספרים אקראיים, או בעזרת נוסחאות מיוחדות.

יש מבחנים שבודקים אם נתונים מתאימים לעקומת הפעמון.

גם כשיש כמה משתנים יחד, יש גרסה של העקומה שנקראת רב-נורמלית. היא חשובה כשבודקים שילובים של משתנים.