זווית דו-מישור

"זווית דו-מישור" היא הזווית בין שני מישורים. היא נקראת גם "זווית דיהדרלית".

זווית דו-מישור מוגדרת כזווית בין האנכים (וקטורים נורמליים) של שני מישורים בנקודה משותפת. וקטור נורמלי הוא וקטור שניצב למישור, כלומר עומד עליו בזווית של 90 מעלות. באופן שונה אפשר לתאר את הזווית ככמות הסיבוב שלמישור A צריך לעבור סביב קו החיתוך, כדי להתלכד עם מישור B. הזווית מהצד ההפוך מקיימת
φ_AB = -φ_BA, ויש גם זווית משלימה שמקשרת בין A ל-B.

במרחבים בממד גבוה יותר המושג דומה: זווית דיהדרלית היא הזווית בין שני היפר-מישורים (תתי-מרחבים מממד n-1 במרחב מממד n). גם שם מחשבים אותה כזווית בין האנכים של העל-מישורים.

אם שני המישורים ניתנים במשוואות קרטזיות a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 ו- a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0, פועלים כך: וקטורי הנורמל הם n_A=(a_1,b_1,c_1) ו-n_B=(a_2,b_2,c_2). הזווית φ ביניהם מוגדרת דרך הקוסינוס של הזווית, שמשתמש במכפלה הסקלרית (הכפל והסכום של רכיבי הווקטורים) וחסרון האורך של הווקטורים. כלומר הקואורדינטות של משוואות המישורים הן בדיוק רכיבי האנכים.

ניתן להגדיר זווית דו-מישור גם באמצעות שלושה וקטורים b1, b2, b3. וקטורים b1 ו-b2 מגדירים מישור ראשון, ו-b2 ו-b3 מגדירים מישור שני. כך מקבלים את אותה זווית דיהדרלית בדרך גאומטרית שונה.

בכימיה ובמדעי המולקולות, זווית דו-מישור מוגדרת לעתים על ידי ארבעה אטומים שמחוברים בקישורים. כל זווית כזו נוצרת על ידי שלוש וקטורי קשר בין האטומים. שינוי הזווית משפיע בעיקר על המרחק בין האטום הראשון והרביעי. במצב שבו האטום הרביעי מסתובב כך שהוא עומד על קו אחד עם הראשון, הזווית מתאפסת. אם הם ניצבים זה מול זה, הזווית היא 180°.

בחלבונים יש סדרה של זוויות דו-מישוריות תקניות לאורך השלד. שמות מקובלים לזוויות הללו הם φ, ψ ו-ω. לפי ההגדרות במקור, הזווית φ קובעת מרחק בין אטומי הפחמן של קבוצות הקרבוקסיל השכנות (C′-C′), ψ קובעת מרחק בין אטומי החנקן (N-N), ו-ω קובעת מרחק בין אטומי הפחמן הראשיים (C^α-C^α).
מישוריות הקשר הפפטידי מאלצת את ω להיות או 0° או 180°. מצב עם ω=0° נקרא "ציס" (cis), ומצב עם ω=180° נקרא "טראנס" (trans). המרחקים בין אטומי C^α בתצורות ציס וטראנס הם בקירוב 2.8 ו-3.8 אנגסטרם, בהתאמה. באופן כללי טראנס נפוץ יותר, וציס מופיע בעיקר בקשר הפפטידי לקבוצת האמין של חומצת האמינו פרולין.

בשרשרות הצד של חומצות האמינו יש גם זוויות דו-מישוריות מסומנות χ_1 עד χ_5. χ_1 מוגדרת על ידי האטומים N-C^α-C^β-C^γ, χ_2 על ידי C^α-C^β-C^γ-C^δ, וכן הלאה. זוויות דו-מישוריות בחלבונים נוטות להצטבר בערכים סביב 180°, 60° ו-60°־שלילי, ויש תלות בין זוויות שכנות שמגבילה שילובים מסוימים.

ארגוני תקינה כמו IUPAC קבעו שמות תקניים לזוויות דו-מישוריות גם במולקולות אחרות, למשל ב-DNA, RNA ורב-סוכרים.

זווית דו-מישור היא הזווית בין שני מישורים. מישור הוא משטח ישר, כמו דף נייר.

מחשבים את הזווית על ידי האנכים למישורים. אנך הוא וקטור שעומד על המישור בזווית של 90 מעלות. אפשר גם לראות את הזווית ככמות הסיבוב של מישור אחד סביב קו החיתוך שלו עם המישור השני.

כשיש משוואות של מישורים, הרכיבים של המשוואות הם בדיוק רכיבי האנכים. בעזרת מכפלה של הווקטורים ויחס לאורךם אפשר למצוא את הזווית בין האנכים.

אפשר להגדיר את הזווית גם עם שלושה וקטורים. שני וקטורים מגדירים מישור ראשון, והווקטור המשולש ביחד עם אחד מהם מגדיר את המישור השני.

במולקולות זווית דו-מישור מונחת על ידי ארבעה אטומים. שלוש וקטורי קשר מגדירים את הזווית. כאשר הזווית משתנה, נושאים בעיקר משתנה המרחק בין האטום הראשון והרביעי. אם האטום הרביעי מסתובב כך שהוא על קו אחד עם הראשון, הזווית היא 0. אם הם מוליים, הזווית היא 180°.

בחלבונים יש זוויות חשובות שנקראות φ, ψ ו-ω. ω בדרך כלל שווה ל-0° או 180°. מצב של 0° נקרא "ציס" ומצב של 180° נקרא "טראנס". טראנס נפוץ יותר. ציס נפוץ בעיקר בקשר של חומצת האמינו פרולין. יש גם זוויות צד שנקראות χ_1 עד χ_5, שמוגדרות על ידי רצף של אטומים. זוויות אלו בדרך כלל קרובות ל-180°, 60° או -60°.

איגוד התקינה IUPAC קבע שמות גם לזוויות במולקולות אחרות, כמו DNA, RNA וסוכרים.