חבורה חופשית היא חבורה שבה קבוצת היוצרים X אינה מקיימת יחסים. יחס כאן פירושו כלל שמקשר בין היוצרים ומציב איזשהו איסור או שוויון. כל איבר בחבורה כזו מיוצג כמילה "מוקטנת" על אותיות של היוצרים x ו-inverse שלהם x^{-1}. מילה מוקטנת היא רצף שבו לא מופיע צימוד xx^{-1} או x^{-1}x; פעולת החבורה מוגדרת על ידי הדבקת מילים ואז ביטול הצימודים האסורים.
בחבורה חופשית לכל איבר יש ייצוג מוקטן יחיד. לכן קל לפתור בעיות כמו בעיית המילה (להחליט אם שתי מילים שוות) ובעיית הצמידות (בדיקה אם שני איברים הם תמורות זה של זה).
אם שתי קבוצות יוצרים X ו‑Y הן באותה עוצמה, אז החבורות החופשיות נצנקות נצנקות על־ידיהן איזומורפיות. מקובל לסמן חבורה חופשית עם n יוצרים על ידי F_n. מספר היוצרים המינימלי נקרא דרגה (rank) של החבורה, והוא קבוע לחבורה נתונה.
הראשון שתיאר חבורה חופשית שנוצרת סופית היה Walther von Dyck ב-1882. הוא הראה שכל חבורה שנוצרת על ידי קבוצה סופית היא מנה של חבורה חופשית. המושג הזה מוביל להצגה של חבורה על ידי יוצרים ויחסים, שמסמנים בדרך כלל
, כאשר ה־R הם היחסים (כלומר החוקים שמוסיפים על פי־הצורך).
משפט נילסן, שרייר קובע שכל תת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חופשית. אם H היא תת-חבורה מאינדקס סופי ב‑F, קיים קשר בין האינדקס לדרגות: [F:H] = (rank(H)-1)/(rank(F)-1). עוד עובדות חשובות: תת-החבורה של איברים קבועים תחת אנדומורפיזם היא נוצרת סופית; לחיתוך של שתי תת-חבורות נוצרת סופית יש תכונת יצירתיות; ולשיירת האוטומורפיזמים יש תכונות מבניות ידועות.
חבורת האוטומורפיזמים של F_n נוצרת על ידי פעולות טבעיות על היוצרים, למשל מהלכים מהסוג x_i ↦ x_i x_j. יש הטלה טבעית מ‑Out(F_n) ל‑GL_n(ℤ) שנוצרת מההטלה של F_n ל‑ℤ^n. במקרה n=2 מתקיים Out(F_2) ≅ GL_2(ℤ) (Nielsen, 1917).
בשנת 1945 תיאר Alfred Tarski השערה חשובה: כל החבורות החופשיות הלא־אבליות מקיימות את אותם משפטים מסדר ראשון. השערה זו הוכחה בסוף המאה ה‑20 על ידי שני צוותים של מתמטיקאים (ביניהם Sela ו‑Kharlampovich עם Myasnikov). בנוסף הוכח שהתורה הזו היא כריעה, כלומר קיים אלגוריתם שמחליט אם משפט מסדר ראשון נכון בכל חבורה חופשית לא־אבלית.
חבורה חופשית היא מבנה מתמטי עם יוצרים ואין בה כללים שמגבילים אותם. יוצרים הם אותיות x ויש גם אותיות הפוכות x^{-1}. כל איבר הוא מילה שעשויה מאותיות אלה. מילה תקינה לא מכילה צמדים xx^{-1} או x^{-1}x. כדי לכפול שני איברים מדביקים את המילים ובוטלים הצמדים האסורים.
לכל איבר יש מילה מוקטנת אחת בלבד. זה מקל על בדיקות אם שתי מילים שוות. אם יש n יוצרים קוראים לחבורה F_n. מספר היוצרים המינימלי נקרא דרגה.
מאז 1882 ידעו חבורות חופשיות נוצרת סופית. משפט חשוב בשם נילסן‑שרייר אומר שכל קבוצה בתוך חבורה חופשית שגם מקיימת את חוקי החבורה היא חופשית גם היא. לבסוף, מתמטיקאים הוכיחו שכולם חולקים את אותן אמיתות לוגיות, וזה נחשב הישג גדול בתורה המסדר הראשון.
תגובות גולשים