חבורה יסודית

החבורה היסודית היא חבורה המתאימה למרחבים טופולוגיים. היא מייצגת את טיפוס ההומוטופיה (שינוי רציף) של לולאות במרחב. לעתים קוראים לה גם החבורה ההומוטופית הראשונה.


נבחר מרחב ונקודה בו, שנקרא נקודת בסיס. לולאה היא מסילה רציפה שמתחילה ומסתיימת בנקודה זו. מחלקים את כל הלולאות לקבוצות לפי הומוטופיה. הומוטופיה היא עיוות רציף בין שתי לולאות שמשאיר את נקודת הבסיס קבועה.

כדי להגדיר חבורה מרכיבים שתי לולאות ברצף. קודם עוברים לאורך הלולאה הראשונה, ואז לאורך השנייה. זה נותן פעולה בינארית על מחלקות ההומוטופיה.


נניח X מרחב טופולוגי ו-x0 נקודת בסיס. לולאה היא פונקציה רציפה f:[0,1]→X עם f(0)=f(1)=x0. שתי לולאות הומוטופיות אם קיימת הומוטופיה רציפה h:[0,1]×[0,1]→X שמקשרת ביניהן ושומרת על נקודת הבסיס.

מחשיבים כיחידה את מחלקות השקילות של הלולאות. ההרכבה של מחלקות [f] ו-[g] מוגדרת על ידי הרכבת נציגים f*g שמבצע קודם את f ואז את g. המחלקה של f*g אינה תלויה בבחירת הנציגים. איבר ניטרלי הוא הלולאה הקבועה f(t)=x0. ההפכי של f הוא f^{-1}(t)=f(1-t).

החבורה מסומנת \pi_1(X,x_0). אם המרחב קשיר מסילתית, החבורה היסודית אינה תלויה בבחירת נקודת הבסיס, למעט איזומורפיזם.


במרחבים כמו \mathbb{R}^n או תת־קבוצה קמורה שלהם יש רק מחלקת הומוטופיה אחת. לכן החבורה היסודית היא הטריוויאלית. מרחב כזה נקרא פשוט־קשר.

במעגל כל לולאה מקיפה אותו מספר של פעמים. אלה מוגדרים על ידי שלם חיובי או שלילי, לפי הכיוון. ההרכבה של הקיפולים יוצרת חיבור של המספרים. לכן החבורה היסודית של המעגל איזומורפית לקבוצת המספרים השלמים עם חיבור. עובדה זו משמשת, למשל, בהוכחות כמו משפט נקודת השבת של בראואר.

לעומת זאת, החבורה היסודית אינה תמיד אבלית (לא מחליפה סדר). בדוגמה של גרף G היא חבורה חופשית. דרגת החבורה תלויה באפיון אוילרי של הגרף.


פונקציה רציפה בין מרחבים מנוקדים שתשמר נקודות בסיס שולחת לולאה ללולאה על ידי הרכבה. פעולה זו שולחת הומוטופיות להומוטופיות, ומכבדת את ההרכבה. לכן מתקבל הומומורפיזם בין החבורות היסודיות, המסומן f_*.

המיפוי הזה הוא פונקטורי: \pi_1(f\circ g)=\pi_1(f)\circ\pi_1(g). בנוסף, אם שתי פונקציות מנוקדות הן הומוטופיות (שומרות את נקודת הבסיס), הן ייצרו את אותו הומומורפיזם על החבורות היסודיות.

החבורה היסודית מתארת לולאות במרחב. לולאה היא מסלול שמתחיל ומסתיים באותה נקודה. נקודה זו נקראת נקודת בסיס.


מראים את כל הלולאות בנקודה אחת. אם אפשר לעקם לולאה אחת להיות אחרת בעדינות, הן חשובות באותו אופן. העקימה הזאת נקראת הומוטופיה. הומוטופיה היא שינוי חלק שהשומר על נקודת הבסיס.

כדי "לכפול" לולאות עושים קודם אחת ואז את השנייה. זה כמו לצאת לטיול ואז לצאת לטיול נוסף.


לולאה היא נתיב רציף שמתחיל ומסתיים בנקודת הבסיס. מחלקים לולאות לקבוצות לפי אם אפשר לעקמן אחת לשנייה.


במרחב ישר כמו המישור כל לולאה ניתנת לעקימה ללולאה הקבועה. לכן אין כאן חבורה מעניינת.

במעגל כל לולאה מקיפה אותו מספר של פעמים. המספר יכול להיות חיובי או שלילי, לפי הכיוון. אם מסתכמים שני טיולים שמקיפים m ו-n פעמים, מקבלים m+n קיפולים.


אם יש פונקציה שמעבירה מרחב אחד לשני ושומרת על נקודת הבסיס, היא מעבירה לולאה ללולאה. כך מקבלים העברה בין החבורות היסודיות של המרחבים.