חבורה אבלית

חבורה אבלית
חבורה אבלית, על שם נילס הנריק אבל, היא חבורה שבה הפעולה קומוטטיבית (חילופית). כלומר, עבור כל a,b מתקיים a*b = b*a. כך החבורה מתנהגת כמו חיבור של מספרים, והרעיון מופיע בבסיס מבנים אלגבריים יותר, כגון מרחבים וקטוריים ומודולים (מודול = מבנה שבו אפשר לכפול איברים על ידי מספרים).

הדוגמאות הנפוצות הן חבורות שמרכיביהן הם מספרים, למשל חבורת המספרים השלמים תחת חיבור. גם כל מרחב וקטורי וכל חוג הם חבורות אבליות ביחס לחיבור. משדה מוציאים את האפס, ושאר האיברים תחת כפל יוצרים חבורה אבלית.

חבורה אבלית היא תמיד פתירה ונילפוטנטית, כלומר יש לה תכונות פירוק מסוימות. תת-חבורה או חבורת מנה של חבורה אבלית נשארת אבלית. הרחבות של חבורה אבלית בחבורה אבלית יכולות לתת חבורה פתירה שאינה אבלית.

בדרך כלל מסמנים את הפעולה ב-+ ואת איבר היחידה ב-0. זה מקל על העבודה כי מזכיר את חיבור השלמים. סימונים אלו נבדלים מכפל או מפעולות חבורה אחרת הפועלת על M.

חבורה נוצרות סופית יש לה מספר סופי של יוצרים. חבורות שלא נוצרות סופית מעניינות כשיש להן מבנה נוסף, כמו טופולוגיה. דוגמה לחבורה שאינה נוצרת סופית היא Q/Z (חבורת המספרים הרציונליים מודולו שלמים).

חבורה מפותלת (טורשן, torsion) היא כזו שכל איבריה הם בעלי סדר סופי: כפל שחוזר על עצמו מוביל לאיבר היחידה. חבורה חסרת פיתול (torsion-free) היא שלא קיימים איברים כאלה פרט לאפס. תת-החבורה הכוללת את כל האיברים בעלי סדר סופי נקראת תת-חבורת הפיתול t(A). תמיד אפשר לקחת את המנה A/t(A), שהיא חסרת פיתול.

חליקות (divisible) פירושה שלכל איבר יש שורש לכל סדר. לדוגמה, Q היא חליקה וחסרת פיתול. Q/Z היא מפותלת וחליקה. חבורה חופשית אבלית היא סכום ישר של עותקים של Z; היא חסרת פיתול ולא חליקה.

לפי משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, כל חבורה אבלית נוצרות סופית ניתנת להצגה יחידה כסכום ישר של חלק מפותל (סופי) וחלק חופשי (עותקי Z). חבורה סופית ניתנת לפירוק לחבורות ציקליות מסדר חזקה-ראשוני. קיימים משפטי פירוק גם לחבורות שאינן נוצרות סופית. בנוסף, אם A נוצרת סופית ומתקיים A⊕B ≅ A⊕B' אז B ≅ B' (תכונת ההצטמצמות).

חבורה אבלית
חבורה אבלית היא קבוצה עם פעולה שבה הסדר לא משנה. כלומר, a*b = b*a. זה דומה לחיבור של מספרים.

הדוגמה הכי פשוטה היא המספרים השלמים עם חיבור. גם מרחב של וקטורים הוא חבורה אבלית תחת חיבור.

אם יש חבורה אבלית, תת־חבורות או מנה שלהן גם אבליות. לעתים מרחיבים חבורה באחרת וזה משנה תכונות.

במקום כפל כותבים בדרך כלל +, ובמקום איבר זהות כותבים 0. זה כמו ב'חיבור'.

חבורה נוצרות סופית יש לה כמה יוצרים בודדים. חבורה שלא נוצרות סופית גדולה יותר, כמו Q/Z (רציונליים בלי שלמים).

חבורה מפותלת (פיתול) היא כזו שכל איבר חוזר ל-0 אחרי חיבור עצמי כמה פעמים. דוגמה: חבורה שבה כל איבר יש לו סדר סופי. חבורה חסרת פיתול אין בה איברים כאלה, רק 0. חליקה (divisible) פירושה שאפשר למצוא שורש לכל איבר, כמו ב-Q.

חבורה אבלית סופית אפשר לפרק לסכום של חבורות קטנות וציקליות. חבורה נוצרות סופית תמיד ניתנת לכתיבה כחלק סופי וחלק חופשי (עותקים של Z).