חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית סופית שבה כל גורם הוא אבלי. "אבלי" פירושו שהתוצאה של החלפת פעולות לא משנה את התוצאה (commutative). השם עולה מתורת גלואה: אפשר לפתור פולינומים על ידי רדיקלים (שורשים) אם ורק אם חבורת גלואה שלהם פתירה.
רעיון חשוב בתורה הוא לפרק חבורה לתת-חבורות נורמליות ולבחון את חבורות המנה. אם כל גורמי ההרכב של חבורה הם אבליים, אז החבורה פתירה. לחבורה שאינה פתירה יש לפחות גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.
כיתה של חבורות פתירות סגורה לפעולות בסיסיות: תת-חבורות, חבורת מנה, והרחבות של חבורות פתירות, כולם פתירים. לכן הכיתה הזו היא הקטנה ביותר שמכילה את כל החבורות האבליות והיא סגורה להרחבות. כמעט כל חבורה זעירה היא פתירה: כל חבורה שסדרה קטן מ-120 פתירה, פרט לחבורת התמורות הזוגיות A_5 (סדר 60), שהיא לא פתירה.
תומפסון הראה ב-1968 שאם כל תת-החבורה המיוצרת מ-2 איברים ב-G פתירה, אז G עצמה פתירה. ההוכחה משתמש במיון חבורות פשוטות עם התכונה הזו.
מוגדרת סדרת הנגזרת G^{(n+1)}=[G^{(n)},G^{(n)}], כאשר G^{(1)}=G. כאן [ , ] מייצג קומוטטורים, מדד לכמה איברים לא "מתקיימים" זה עם זה. המנות G^{(n)}/G^{(n+1)} הן אבליות, וכאשר הן נוצרות סופית נוכל לפרק אותן לציקליות ולזהות חלק חופשי שדומה ל-Z^{a_n}. סכום המספרים a_n נקרא דרגת הירש של החבורה.
חבורה עם G''=1 נקראת מטא-אבלית (פעם אחת של נגזרת מביאה לאיברות שמתקשרות), והיא פתירה. חבורות מטא-אבליות שנוצרות סופית עלולות לא להיות בעלות ייצוג סופי, אך הן residually finite (ניתן להפריד איברים בעזרת מנות סופיות) ומקיימות את תנאי השרשרת העולה (ACC). הירש הוכיח כי חבורה פתירה שנוצרת סופית ומקיימת ACC היא חבורה פולי-ציקלית.
חבורה פתירה היא חבורה שמסתדרים אותה בשלבים פשוטים. חבורה היא אוסף של איברים עם חוק פעולה. "אבלי" זה כששני איברים מחליפים מקום והכל נשאר אותו הדבר.
שמו של הרעיון מגיע מתורת גלואה. הוא עוזר להבין מתי אפשר לפתור משוואות בעזרת שורשים.
חבורה פתירה ניתנת לפירוק לסדרה של שלבים. בכל שלב מקבלים חבורה שבה החלפות כבר אינן מסובכות. אם כל השלבים פשוטים כאלו, החבורה פתירה.
רוב החבורות הקטנות יחסית פתירות. רק חבורה מיוחדת בשם A_5 היא לא פתירה בין החבורות עד גודל מסוים.
יש סדרה שנקראת סדרת הנגזרת. בכל שלב בונים חבורה חדשה מהקומוטטורים. קומוטטור הוא דבר שבודק כמה איברים "לא מתאימים" זה עם זה. אם הסדרה מגיעה לחבורה הפשוטה ביותר, אז החבורה פתירה.
חבורה שהנגזרת שלה פעמיים נותנת את החבורה היחידה נקראת מטא-אבלית. חבורות כאלה בדרך כלל מתנהגות יפה וקל יותר להבין אותן.
תגובות גולשים