חבורה (מבנה אלגברי)

חבורה היא קבוצה עם פעולה בינארית. פעולה בינארית היא פעולה שלוקחת שני איברים ומחזירה איבר חדש.
הפעולה חייבת להיות אסוציאטיבית, כלומר קיבוצית: סדר קיבוץ הפעולות אינו משנה את התוצאה.
קיים איבר יחידה e שמקיים e·a=a לכל a, ולכל איבר a קיים הופכי a^{-1} כך ש-a·a^{-1}=e.
חבורה שנקבעת גם בתכונת קומוטטיביות נקראת חבורה אבלית (חילופית), כלומר a·b=b·a לכל a,b.
הסימון המקובל הוא (G, ·, e).

דוגמאות חשובות הן חבורות של תמורות (permutations), שבהן האיברים הם אופן סידור של איברים.
גם אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב אל עצמו הוא חבורה, ומכאן שברוב המקרים חבורות מתגלות דרך סימטריות.

קיימים מבנים כלליים יותר, כמו חבורות למחצה (semigroups) ומונואידים, שהם מבנים עם פעולה אסוציאטיבית ולעתים עם איבר יחידה.
במונואיד, האיברים ההפיכים יוצרים קבוצה שמהווה חבורה.
במקרים מיוחדים יש תכונות נוספות של אידמפוטנטים (e שאיתו ee=e) וקשרים ביניהם.

תת-חבורה היא תת-קבוצה של G שסגורה תחת הכפלה וההופכי, והיא מהווה חבורה בפני עצמה.
החיתוך של תת-חבורות תמיד נותן תת-חבורה.
תת-חבורה H מחלקת את G למחלקות שקילות שנקראות קוסטים: מימין gH או משמאל Hg.
בחבורה סופית, מספר האיברים במחלקה שווה לגודל H, ומשם נובע משפט לגראנז': |G| מתחלק ב-|H|, ובאופן פורמלי [G:H]=|G|/|H|.
יש תוצאות נוספות לגבי סדרים של איברים ותתי-חבורות, למשל משפטי סילו.

תת-חבורה נורמלית N מקיימת gNg^{-1}≥N לכל g, כלומר הקוסטים הימניים והשמאליים שווים.
על מחלקות אלה אפשר להגדיר כפל, ולקבל חבורת מנה G/N שנמדדת על ידי האינדקס [G:N].
חבורה פשוטה היא חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות חוץ מהמינימליות.
המכפלה H_1H_2 היא קבוצה של כל המכפלות h_1h_2, והיא תת-חבורה רק אם H_1H_2=H_2H_1.

המרכז Z(G) הוא אוסף האיברים שמתחלפים עם כל האיברים ב-G. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית.
המרכז שווה ל-G אם החבורה אבלית, ולעתים הוא קטן מאוד, למשל בחבורה הסימטרית.
המרכז הכללי של תת-קבוצה H נקרא מרכזליזטור C_G(H), והוא האוסף המתחלפים עם כל איברי H.
המנרמל של H הוא קבוצת ה-g שעבורה gHg^{-1}=H; זו התת-חבורה הגדולה שבה H נורמלית.

קבוצה S יוצרת חבורה אם התת-חבורה הקטנה ביותר שמכילה אותה היא כל G.
חבורה ציקלית נוצרת על ידי איבר אחד בלבד.
היוצרים עשויים לקיים יחסים בין עצמם. למשל בחבורה של שלוש תמורות, שני יוצרים פשוטים מקיימים יחסים שקובעים את המבנה.
חבורה חופשית היא חבורה שאין לה יחסים בין היוצרים, וכל חבורה היא מנה של חבורה חופשית.
מדד של התאוריה הוא קצב הגידול של החבורה ביחס לאורך המילים ביצירה שלה.

חבורות חשובות כי הן יכולות לפעול על קבוצות. פעולה של חבורה על קבוצה מציגה כל איבר כפונקציה הפיכה של הקבוצה.
כל חבורה פועלת על עצמה על ידי כפל משמאל, וטענת קיילי אומרת שכל חבורה היא תת-חבורה של חבורה של תמורות.
פעולת ההצמדה שולחת y ל-xyx^{-1} ויוצרת מחלקות שקילות שנקראות מחלקות צמידות.
ההצמדה היא גם אוטומורפיזם (התאמה שמכבדת את המבנה) של החבורה, וממנה נוצרת הצגה של G כחבורת אוטומורפיזמים.
הצגה זו נאמנה אם ורק אם מרכז החבורה טריוויאלי.

חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד.
הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה.
יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים.
לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה.
אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית.

תמורות הן סידורים של איברים. אוסף כל התמורות יוצר חבורה.
גם כל ההחלפות והתזוזות שנשמרות על צורה יוצרים חבורה.

יש מבנים פשוטים יותר, כמו מונואידים, שהם קבוצות עם פעולה וקצת פחות כללים.
במונואיד, האיברים שניתנים להפיכה יוצרים תמיד חבורה.

תת-חבורה היא קבוצה קטנה יותר שבתוכה יש את כל הפעולות וההופכיים.
תת-חבורה חותכת את החבורה למחלקות שנקראות קוסטים.
אם החבורה קטנה וסופית, גודל תת-החבורה מחלק את גודל החבורה.

המרכז הוא המקום של כל האיברים שמתחלפים עם כולם.
המרכז הוא תת-חבורה. בחבורה חילופית הוא כל החבורה.
המנרמל מראה היכן תת-חבורה היא יציבה תחת הצמדה.

כמה איברים יכולים ליצור חבורה שכל האיברים שלה נבנים מהם.
חבורה של איבר אחד בלבד נקראת ציקלית.

חבורה יכולה "לפפעל" על קבוצה, כלומר להזיז את האיברים שלה.
איבר יכול לפעול על איבר אחר על ידי הצמדה: לעשות x, לאחר מכן y, ואז ביטול של x.
כך נוצרים קבוצות של איברים שדומים זה לזה.
משפט חשוב אומר שכל חבורה ניתנת לראות כחבורה של תמורות.