חבורה נילפוטנטית

חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה כל קומוטטור (קומוטטור הוא ביטוי שמודד את ההבדל בין ab ל-ba, למשל [x,y]=xyx^{-1}y^{-1]) שמשקלו מספיק גבוה שווה לאיבר הנייטרלי. במילים אחרות, קיימת דרגה k כך שהקומוטטורים [a_1,a_2,…,a_k] שווים ל־1. חבורות אבליות (שבהן כל הזוגות מתחלפים) הן דוגמה פשוטה לנילפוטנטיות.

הסדרה המרכזית היורדת מוגדרת על־ידי G_{k+1}=[G_k,G] עם G_1=G. חבורה ממחלקה k היא כזו שבה G_{k+1}=1. כך חבורה ממחלקה 1 היא אבלית; חבורה ממחלקה 3 מקיימת [[[a_1,a_2],a_3],a_4]=1.


חבורות נילפוטנטיות הן תמיד פתירות (solvable). החבורה הסימטרית S_3, בת שישה איברים, היא הדוגמה הקטנה ביותר של חבורה פתירה שאינה נילפוטנטית. בקרב החבורות הסופיות, חבורה נילפוטנטית מתפרקת כמכפלה ישרה פנימית של תת־חבורות סילו (p-חבורות). חבורות p הידועות, כגון חבורת הקווטרניונים או חבורת הדיהדרל מסדר 8, הן נילפוטנטיות.

כל תת־חבורה וכל חבורת מנה של חבורה נילפוטנטית גם הן נילפוטנטיות. בנוסף, כל תת־חבורה מקסימלית בחבורה נילפוטנטית היא נורמלית. אפשר לכתוב חבורה נילפוטנטית ממחלקה k כהרחבה 1→G_k→G→G/G_k→1, כאשר G_k שוכנת במרכז (כלומר היא מתחלפת עם כל איבר בחבורה).


לכל x ב־G מגדירים את f(y)=[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}. חזרה על ההפעלה נותנת קומוטטורים כבדים יותר: f^n(y)=[x,x,…,x,y]. בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k חייבת להתקיים הזהות f^k(y)=1. הזהות הזו נקראת זהות אנגל.

במקרים סופיים ההפך נכון: אם קיימת דרגה k כך שהזהות האנגלית מתקיימת לכל x,y, אז החבורה נילפוטנטית. מזה נובע שגם מספיק לבדוק תת־חבורות שנוצרות על ידי שני איברים כדי לקבוע נילפוטנטיות בחבורה סופית. מלצב הראה שקיימות גם זהויות של חבורות למחצה המתארות נילפוטנטיות, ולמשל מחלקה 2 מקיימת זהות כמו xyzyx=yxzxy.


באופן כללי, בתת־החבורה τ(G) נמצאים כל האיברים בעלי סדר סופי. תת־חבורה זו נורמלית והיא שווה למכפלה ישרה של תת־חבורות סילו של G. המנה G/\u03c4(G) היא חסרת פיתול (torsion-free). חבורות נילפוטנטיות הנוצרת סופית מקיימות את תנאי השרשרת העולה (כל שרשרת עולה של תתי־חבורות נעצרת). הן גם Hopfian (תכונת הופף). דוגמה חשובה היא חבורת הייזנברג, דוגמה אינסופית שאינה אבלית.


הגידול של חבורה תלוי בקבוצת היוצרים, אך שקילות של פונקציות הגידול נותנת את קצב הגידול של החבורה. לכל חבורה נילפוטנטית קצב הגידול הוא פולינומי. משפט מרכזי של גרומוב קובע את ההיפוך: כל חבורה בעלת קצב גידול פולינומי מכילה תת־חבורה נילפוטנטית מאינדקס סופי. המשמעות היא שקבוצת החבורות בעלות גידול פולינומי מקושרת חזק לנילפוטנטיות.

חבורה היא קבוצה עם חוק שמחבר בין איברים (פעולה). חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה אחרי שמחשבים 'הבדלים' מסוימים פעמים רבות, מקבלים תמיד את האיבר הנייטרלי. ה'הבדל' הזה קוראים לו קומוטטור. קומוטטור של x ו־y הוא [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}.


אם כל הקומוטטורים שעם משקל מסוים הם ניטרליים, אומרים שהחבורה נילפוטנטית. חבורות שבהן כל הזוגות מתחלפים (אבליות) הן תמיד נילפוטנטיות. החבורה S_3, שיש לה שש איברים, היא דוגמה לחבורה שאינה נילפוטנטית.

חלק מהחבורות החשובות שנילפוטנטיות הן חבורות p (חבורות שגודלן כוח של מספר ראשוני). חבורת הייזנברג היא דוגמה לחבורה אינסופית נילפוטנטית שאינה אבלית.


אם מפעילים את הפעולה f(y)=[x,y] שוב ושוב, מקבלים קומוטטורים גבוהים יותר. בחבורה נילפוטנטית יש דרגה k כך ש־f^k(y)=1 לכל x,y. לזה קוראים זהות אנגל.


קצב הגידול מודד כמה איברים אפשר להגיע עם מספר מסוים של צעדים. חבורות נילפוטנטיות גדלות כמו פולינומים. משפט חשוב של גרומוב אומר שאם חבורה גדלה כמו פולינום, היא כמעט תמיד מכילה חבורה נילפוטנטית שגודל החלק החסר ממנה קטן.