חילוק

חילוק הוא הפעולה ההפוכה לכפל. בפעולת חילוק נותנים שני מספרים. המספר שחולקים קוראים לו "מחולק". המספר שמחלקים בו קוראים לו "מחלק". התוצאה קוראת "מנה". אפשר לכתוב חילוק בשבר, כשהמחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה. כשמגדירים פורמלית, חילוק שווה לכפל בהופכי של המחלק (ההופכי של מספר הוא מספר שכאשר מכפילים אותו במחלק נותן 1).

בלימוד בחטיבת יסודי לומדים שני מודלים עיקריים לחילוק. המודל הראשון, "חילוק לחלקים", שואל כמה פריטים יש בכל קבוצה כשמחלקים א' פריטים ב-ב קבוצות שוות. למשל, 10 פרוסות ל-5 ילדים נותן 2 פרוסות לכל ילד. המודל השני, "חילוק להכלה", שואל כמה פעמים גודל חלק נכנס בגודל השלם. למשל, אם כל ילד קיבל 2 פרוסות והיו 10 פרוסות בסך הכל, כמה ילדים היו? אלה מודלים שעוזרים להבין את הפעולה, אבל ההגדרה המתמטית עצמה כללית יותר.

אחרים, כמו פישביין, הצביעו על הנחות נסתרות במודלים האלה. לדוגמה, בהנחת חילוק לחלקים לרוב מניחים שהמחלק שלם והמחולק גדול מהמחלק. זה יכול להוביל לטעות חשיבתית נפוצה, לפיה "חילוק תמיד מקטין".

אומרים ש"a מחלק את b" כאשר קיים q כך ש-b = a q. בחיסור לטבעיים וחלוקה לא תמיד מתקבלת מנה שלמה. לכן מגדירים חילוק עם שארית: אם מחלקים b ב-a מתקבלים q ושארית r כך ש-b = a q + r, עם 0 ≤ r < |a|. את התוצאה אפשר גם לכתוב כמספר מעורב, למשל 10:3 = 3 1/3.

משפט החלוקה אומר שלכל a≠0 ולכל b קיימים בדיוק q ו-r שמקיימים את התנאים האלה. כדי לבדוק התחלקות משתמשים במבחני התחלקות.

בחילוק של שברים מכפילים בהופכי המחלק. כלומר לחלק p/q בחצי r/s עושים p/q × s/r, והתוצאה היא ps/qr.

לחילוק מספרים מרוכבים מכפילים את המונה והמכנה בצמוד של המכנה (המספר המורכב עם הסימן של החלק המדומה היפוך). כך מקבלים מכנה ממשי ושמים את התוצאה בצורת a+bi.

חלוקה באפס אינה מוגדרת. הסיבה היא שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לא ניתן למצוא מספר a כך ש-a×0 יתן מספר שונה מאפס. כאשר גם המחולק וגם המחלק הם אפס, התשובה אינה חד־משמעית. יש פיתוחים מתמטיים שמרחיבים את ההגדרה, אך באופן כללי חילוק באפס לא מוגדר.

בחשבון מודולרי מגדירים חילוק רק בתנאים מסוימים. בדרך כלל החילוק עובד היטב כאשר מודולו הוא מספר ראשוני.

חילוק זה פעולה ההפוכה לכפל. יש שני מספרים. הראשון שחולקים קוראים לו מחולק. השני שעוזר בחלוקה קוראים לו מחלק. התשובה קוראים לה מנה.

חילוק לחלקים שואל כמה יש בכל קבוצה כשמחלקים לחלקים שווים. לדוגמה: 20 תפוחים לחלק ל-4 קבוצות נותן 5 תפוחים בכל קבוצה. בחילוק להכלה שואלים כמה פעמים חלק נכנס בשלם. אם יש 10 פרוסות וכל ילד קיבל 2, אז יש 5 ילדים.

לפעמים לא יוצאת מנה שלמה. אז יש שארית. לדוגמה, אם מחלקים 10 ב-3, המנה היא 3 ויש שארית 1. את זה כותבים גם בצורה מעורבת, כמו שלוש ושליש.

כשמחלקים שברים מכפילים בבחירה ההופכית של המחלק. עם מספרים שמכילים i (חלק מדומה), משתמשים בטריק שנקרא כפל בצמוד כדי לקבל מספר רגיל.

לא אפשר לחלק באפס. מכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן אין תשובה ברורה.

גם בחישוב מיוחד שנקרא מודולרי יש דרך לחלק. זה עובד טוב יותר כשמספר המודולו הוא ראשוני.