טור (מתמטיקה)

במתמטיקה, טור הוא סכום של איברי סדרה, כלומר חיבור של מספרים או פונקציות.

טור סופי הוא חיבור של מספר איברים. נהוג לכתוב סכומים מקוצרים בעזרת סימון סכום (Σ). לדוגמה, a1+a2+...+an נרשם Σ_{k=1}^n a_k, כאשר k הוא אינדקס שרץ על האיברים.

טור חשבוני הוא סכום של סדרה חשבונית. סכום n האיברים שווה ל־(n/2) כפול סכום האיבר הראשון והאחרון.

בטור טלסקופי רוב האיברים מסתדרים ובוטלים אחד עם השני. לדוגמה, האיבר 1/(k(k+1)) שווה להפרש 1/k - 1/(k+1). כשמחברים את n האיברים נשארים רק האיבר הראשון והאחרון, וסכום n האיברים הוא n/(n+1).

טור הנדסי הוא סכום איברי סדרה הנדסית (גאומטרית). דוגמה: 1+2+4+8+...+2^{n-1}. הסכום הסופי של סדרה הנדסית עם מנה q שונה מ־1 הוא S_n = a1*(q^n-1)/(q-1).
אם הסכום אינסופי והערך המוחלט של q קטן מ־1, הטור האינסופי מתכנס לערך a1/(1-q). אם |q|>=1, הטור מתבדר.

זהויות לגבי טורים סופיים נובעות ממניפולציות על אינדקסים או מאקסיומות אלגבריות כמו חוק הפילוג, אסוציאטיביות וקומוטטיביות. לדוגמה, אפשר להוציא מקדם קבוע מחוץ לסכום: Σ C·a_k = C·Σ a_k. הוכחות של זהויות כאלה נעשות לעיתים באינדוקציה מתמטית.

טור אינסופי הוא סכום של אינסוף איברים. מגדירים אותו דרך סדרת הסכומים החלקיים S_n = Σ_{k=1}^n a_k. אם סדרת S_n מתכנסת לגבול L, אומרים שהטור מתכנס וסכומו הוא L. אם לא, הטור מתבדר.
באמצעות ההגדרה הזו אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי להעביר חוקי חיבור וכפל לקייס האינסופי, אך יש מגבלות: למשל, שינוי סדר האיברים לא תמיד שומר על הסכום (לפי משפט רימן).

יש כלי בדיקה רבים שנקראים מבחני תכנסות. בדיקה פשוטה אחת היא התנאי ההכרחי: אם טור מתכנס אז איבריו שואפים לאפס. זה לא מספיק, יש טורים ששאיפת האיבר לאפס אך הטור מתבדר (למשל הטור ההרמוני).

- טורים חיוביים: אם כל האיברים חיוביים, סדרת הסכומים החלקיים עולה. טור כזה מתכנס רק אם יש לו חסם מלעיל. זהו הבסיס למבחני השוואה לטורים חיוביים.

טור מתכנס בהחלט אם הטור שמורכב מהערכים המוחלטים שלו מתכנס. התכנסות בהחלט גורמת לכך ששינוי סדר האיברים לא ישנה את הסכום. טור שמתכנס אך לא בהחלט נקרא מתכנס בתנאי; אפשר לשנות את סדר האיברים שלו כך שסכומו ישתנה (משפט רימן).

כשמכניסים סוגריים לטור אינסופי, יוצרים טור אחר. הכנסת סוגריים לטור מתכנס נותנת טור מתכנס. עם זאת, הכנסת סוגריים עלול להפוך טור מתבדר לטור שמתכנס, או להפך, ולכן יש תנאים שמבטיחים שההתנהגות נשמרת.

אפשר להגדיר טורים של פונקציות במקום מספרים. במקרה זה טורים אלה יכולים להתכנס לפונקציה. דוגמאות חשובות הן טורי חזקות, טורי טיילור וטורי פורייה. הם משמשים בקירוב פונקציות ובפתרון משוואות דיפרנציאליות.

חישוב סכום טור אינסופי אינו תמיד פשוט. שיטות נפוצות כוללות מניפולציות אנליטיות, שימוש בטורי חזקות וטורי פורייה, טורי טלסקופיות ושיטות משאריות באנליזה מרוכבת. דוגמה חישובית: הטור המתחלף 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... מתכנס לערך ln(2). טור טלסקופי כמו Σ 1/(n(n+1)) מתכנס ל־1.

ניתן להכליל את מושג הסכום בעזרת שיטות סיכום (summability), המאפשרות להעניק משמעות לטורים שאינם מתכנסים רגיל. משפטי טאובר קושרים בין התכנסות בשיטות אלה לבין התכנסות רגילה, בתנאים נוספים.

יש משפטים שמקשרים בין התכנסות במובן של אבל (Abel) או צ'זרו (Cesàro) לבין התכנסות רגילה, בתנאים על האיברים כגון na_n→0.

טור הוא חיבור של הרבה מספרים אחד אחרי השני.
לדוגמה, 1+2+3 הוא טור שסכומו 6.

טור סופי הוא חיבור של מספר סופי של איברים. כותבים את זה בקיצור בעזרת סימן סכום.

בטור טלסקופי חלק מהמספרים מתבטלים. כך קל למצוא את הסכום. לדוגמה, סכום של 1/(n(n+1)) עד n נותן 1-1/(n+1). כשהn גדול מאוד, התוצאה מתקרבת ל־1.

טור הנדסי הוא כאשר כל איבר מתקבל על ידי כפל באותו מספר מול האיבר הקודם. לדוגמה 1,2,4,8,... . אם המנה (המספר שמכפילים בו) קטן מ־1, הסכום האינסופי יכול להיות מספר סופי. למשל 1/2+1/4+1/8+... שווה ל־1.

טור אינסופי הוא חיבור של אינסוף איברים. מחשבים אותו על ידי בדיקה של סכום האיברים הראשונים שוב ושוב. אם הסכומים האלה מתקרבים למספר מסוים, הטור מתכנס. אחרת הוא מתבדר.
תנאי חשוב: כדי שטור יתכנס, האיברים שלו חייבים להתקרב לאפס.

אם גם סכום הערכים המוחלטים של האיברים מתכנס, קוראים לטור "מתכנס בהחלט". אז אפשר לשנות את סדר האיברים בלי לשנות את הסכום. אם לא, שינוי סדר יכול לשנות את התוצאה.

יש דרכים שונות למצוא סכומים של טורים. לדוגמה חישובים עם טורי חזקות, חישוב טורים טלסקופיים או שיטות מיוחדות כמו צ'זרו. יש טורים שלא מתכנסים בדרך הרגילה, אבל אפשר לתת להם ערך בעזרת שיטות אלה.