טור דיריכלה

טור דיריכלה הוא טור של הצורה f(s)=∑_{n=1}^∞ a_n / n^s. כאן a_n הם מקדמים קבועים, בדרך כלל מספרים שלמים או שורשי יחידה. המשתנה s הוא מספר מרוכב, כלומר מספר עם חלק ממשי וחלק מדומה. טורים כאלה הופיעו כבר במאה ה-17, למשל בהקשר של בעיית בזל. אוילר חיבר ביניהם לבין מספרים ראשוניים. דיריכלה עצמו השתמש בטורים הללו כדי להוכיח את משפטו על קיומם של אינסוף ראשוניים בסדרות חשבוניות (רצפים עם הפרש קבוע).


טור דיריכלה המפורסם ביותר הוא פונקציית זטא של רימן:
ζ(s)=∑_{n=1}^∞ 1/n^s.
קיים גם הטור ההופכי שלה:
1/ζ(s)=∑_{n=1}^∞ μ(n)/n^s, כאשר μ(n) היא פונקציית מביוס, פונקציה אריתמטית שמקבלת ערכים לפי מבנה המחלקים של n.

עוד זהויות מקשרות פונקציות אריתמטיות לטורים כאלה. למשל
ζ(s-1)/ζ(s)=∑_{n=1}^∞ φ(n)/n^s,
כאשר φ(n) היא פונקציית אוילר (הפונקציה שסופרת מספרים יחסית-פריים ל-n). ויש זיקות עם פונקציות המחלקים σ_a(n) שמופיעות בקונבולוציות של טורי דיריכלה.

טור דיריכלה הוא סכום של ביטויים מהצורה a_n לחלק ב-n^s. a_n הם מספרים קבועים. s הוא מספר מיוחד שנקרא מרוכב. טורים כאלה נראו כבר במאה ה-17. אוילר קישר אותם למספרים ראשוניים. דיריכלה השתמש בהם כדי להראות שיש אינסוף מספרים ראשוניים ברשימות מסוימות של מספרים (רשימה עם הפרש קבוע בין האיברים).


הדוגמה המפורסמת היא זטא של רימן:
ζ(s)=∑_{n=1}^∞ 1/n^s.
גם קיימת זהות עם פונקציית מביוס μ(n). מביוס היא פונקציה מתמטית שקושרת בין סכומים כאלה למבנה המחלקים של n. יש גם נוסחאות שמקשרות פונקציות כמו φ(n) ו-σ_a(n) לטורים אלה.