אוגוסט פרדיננד מביוס
אוגוסט פרדיננד מביוס (17.11.1790 - 26.9.1868) היה מתמטיקאי ואסטרונום גרמני. מביוס נולד ליד אלטנבורג. ב-1813 למד באוניברסיטת לייפציג. ב-1815 קיבל דוקטורט. ב-1816 נעשה פרופסור בלייפציג. הוא עיצב את טבעת מביוס. טבעת מביוס היא רצועה מיוחדת שיש לה רק צד אחד. הוא גם מצא פונקציה שנקראה על שמו. פונקציה הי...
העתקת מביוס
מביוס היא פעולה על מספרים מורכבים שעושה כך: לוקחים a כפול z ועוד b, ואז מחלקים ב־(c כפול z ועוד d). המקדמים a,b,c,d הם מספרים מיוחדים כך ש‑ad-bc לא שווה אפס. השם נלקח מהמתמטיקאי מביוס. הפעולה פועלת על המישור יחד עם נקודה מיוחדת שנקראת אינסוף. אפשר לדמיין את זה ככדור ששמים עליו את המישור בעזרת הטלה ...
נוסחת ההיפוך של מביוס
נוסחת מביוס עוזרת להחזיר פונקציה אחרת שמחוברת אליה על ידי סכומים על מחלקים. מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כותבים a|b כדי לומר ש-a מחלק את b. פונקציית מביוס μ: - μ(1)=1. - μ(n)=0 אם יש מספר ראשוני p כך ש-p^2 מחלק את n. (p^2 זה p כפול p.) - אם n הוא מכפלה של k מספרים ראשוניים שונים, אז μ נותנת 1 או −...
פונקציית מביוס
פונקציית מביוס נקראת μ(n). זוהי חוק שמקבל מספר טבעי ומחזיר מספר אחר. אם ל-n יש גורם ריבועי, כלומר מספר שהוא כפולה של מספר בעצמו, אז μ(n)=0. אם אין כזה גורם, סופרים כמה ראשוניים שונים מחלקים את n. אם המספר הזה זוגי μ(n)=1. אם הוא אי־זוגי μ(n)=-1. למשל μ(1)=1 ו-μ של ראשוני הוא -1. (ראשוני הוא מספר ...
טבעת מביוס
טבעת מביוס היא רצועת נייר מיוחדת. רצועה זו יש לה צד אחד בלבד. השם שלה מגיע מאיש בשם מביוס. האיש היה מתמטיקאי. כדי לבנות אותה לוקחים סרט נייר. מוסיפים חצי סיבוב. מדביקים את הקצוות. אם עוקבים עם האצבע אחרי הקצה, מגיעים לכל הקצה בלי להרים את האצבע. זה אומר שיש רק מעגל אחד שנקרא "שפה". המילה שפה כאן פי...
הספירה של רימן
הספֵירה של רימן היא המישור של המספרים המרוכבים עם נקודה אחת נוספת. את הנקודה הזו קוראים "אינסוף". אפשר לדמיין את זה ככדור. נקודת ה"צפון" של הכדור היא האינסוף ונקודת ה"דרום" היא האפס. יש הטלה סטריאוגרפית. זה מיפוי שמקשר כל נקודה בכדור לנקודה במישור. קו ישר במישור נראה על הכדור כמעגל. שני קווים מקביל...
טור דיריכלה
טור דיריכלה הוא סכום של ביטויים מהצורה a_n לחלק ב-n^s. a_n הם מספרים קבועים. s הוא מספר מיוחד שנקרא מרוכב. טורים כאלה נראו כבר במאה ה-17. אוילר קישר אותם למספרים ראשוניים. דיריכלה השתמש בהם כדי להראות שיש אינסוף מספרים ראשוניים ברשימות מסוימות של מספרים (רשימה עם הפרש קבוע בין האיברים). הדוגמה המפ...
בקבוק קליין
בקבוק קליין הוא צורה מיוחדת במתמטיקה. זו משטח דו־ממדי שלא ניתן לשים אותו בלי שהחלקים יחזיקו זה את זה במרחב התלת־ממדי. בעולם עם ארבעה ממדים זה היה קל יותר. אפשר לדמיין בקבוק יין עם חור בתחתית. אם נקלף את צוואר הבקבוק וננסה לחברו אל החור מלמעלה, בצורת פלא, זה יוביל לכך שהצוואר יעבור דרך גוף הבקבוק. ...
פונקציה אריתמטית
פונקציה אריתמטית היא חוק שמקבל מספר טבעי ומחזיר מספר. הרעיון הוא שהערך תלוי בדרך שבה המספר מתחלק. ממוצע של פונקציה עד n הוא סכום הערכים מ-1 עד n חלקי n. לפעמים קל לדעת בקירוב איך הממוצע גדל. אבל קשה לדעת בדיוק כמה הטעות בחישוב. פונקציה כפלית מקיימת f(a·b)=f(a)·f(b) כש-a ו-b זרים. זרים זה אומר שאין ל...
מרחב פשוט קשר
מרחב פשוט קשר הוא מקום קשור שבו כל לולאה אפשר לכווץ לנקודה. (לולאה זה מסלול סגור שחוזר לנקודה שממנו התחילו.) המישור הרגיל הוא כזה: כל לולאה בו אפשר להצר אותה עד לנקודה. אם מוציאים מהמישור נקודה, אז יש לולאה שמקיפה את החור ולא ניתן לכווץ אותה. הכדור התלת־ממדי גם הוא פשוט קשר. אפשר לעשות בו ג...
פונקציית אוילר
פונקציית אוילר נקראת על שם אוילר. מסמנים אותה φ (פי). φ(n) סופר כמה מספרים קטנים מ‑n הם "זרים" לו. זר אומר שאין להם מחלק משותף עם n חוץ מ‑1. לדוגמה: φ(5)=4 כי 1,2,3,4 זרים ל‑5. φ(6)=2 כי רק 1 ו‑5 זרים ל‑6. אם p הוא מספר ראשוני, אז φ(p)=p−1. אם יש חזקה של ראשוני p^s נקבל φ(p^s)=p^s−p^{s−1}. הפונקצ...
שדה סופי
שדה סופי הוא קבוצה עם חיבור וכפל ויש בה מספר מוגבל של איברים. מספר האיברים תמיד שווה לחזקה של מספר ראשוני. זאת אומרת תמיד p^n איברים, כאשר p הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. לכל p ו-n יש בדיוק שדה אחד בגודל p^n. בשדה כזה כל איבר מקיים x^{p^n}=x (כלומר כשמעלים אותו ל-p^n מ...