יסודות (ספר)

"יסודות" (יוונית: Στοιχεῖα, סטוֹייכֵיאַ) הוא חיבור בן שלושה-עשר חלקים המיוחס לאוקלידס מאלכסנדריה, מראשית המאה ה-3 לפנה"ס. הספר מארגן הגדרות, אקסיומות (הנחות יסוד שנקבלות ללא הוכחה) ומשפטים בגאומטריה, בתורת המספרים ובאלגברה בסיסית. זהו הספר הישן ביותר מסוגו ששרד והשפעתו על הלוגיקה, המתמטיקה והמדע היתה גדולה מאוד.

עותקי הספר הגיעו מביזנטיון לעולם הערבי. במאה ה-12 אדלארד מבאת' תרגם אותו ללטינית. מהדורת הדפוס הראשונה הודפסה בוונציה ב-1482, על בסיס עותק של ג'ובאני קמפנו משנת 1260. מאז יצאו ממנו אלפי מהדורות. תרגום לעברית נעשה בעידוד הגאון מווילנה בשנת 1780. כמה כתבי יד יווניים שרדו, למשל בספריית הוותיקן ובאוקספורד, אך הם לא שלמים ודורשים שחזור זהיר.

אוקלידס פעל בסביבת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה, גוף מחקר והוראה דומה לאוניברסיטה של היום. "יסודות" נבנה כספר לימוד ולא כדו"ח מחקר; רוב החומר נאסף ממקורות קודמים. ייתכן שאוקלידס ערך, סידר והבהיר הוכחות, ואף הוסיף כמה הוכחות משלו.


החיבור מחולק לשלושה-עשר ספרים. ששת הראשונים עוסקים בגאומטריית המישור (צורות שטוחות). שלושת הספרים הבאים עוסקים בתורת המספרים, כלומר בחקר התכונות של המספרים. הספר העשירי דן בחלקים שאינם בעלי מידה משותפת, מושג של ימינו נקרא לו אי-רציונליות. שלושת הספרים האחרונים עוסקים בגאומטריית המרחב (צורות תלת־ממדיות).

הספר נפתח ב-23 הגדרות, שלוש־חמש הנחות בסיסיות שנקראות פוסטולטים (הנחות עבודה של המתמטיקאי), ועוד חמש מוסכמות שנועדו להיות מובנות כמובן מאליו. בין הפוסטולטים בולטת אקסיומת המקבילים, שעליה נכתב רבות בהיסטוריה של המתמטיקה.

אוקלידס שאף לבנות הוכחות מתוך הנחות מעטות ככל האפשר. כיום מבחינים שהיו גם הנחות נסתרות בהוכחות שלו. לדוגמה, בהוכחות מניחים בדרך כלל שדרך שתי נקודות עוברת רק קשת ישרה אחת.

הסידור הלוגי של "יסודות", יציאה מאקסיומות קצרות למסקנות רחבות, הפך למודל להשפעה מדעית. מדענים כמו קופרניקוס, קפלר, גלילאו וניוטון הושפעו מהסגנון הלוגי והקפדני של הספר.


מהדורה משנת 1752 הציגה חלוקה שונה של ההנחות, עם שלושה פוסטולטים ו-11 אקסיומות נוספות. בין האקסיומות מופיעות כללים בסיסיים על השוויון של גדלים, חיבור וחיסור של גדלים, וכמה משפטים פשוטים על זוויות וחלקים. האקסיומה ה-11 במהדורה זו היא אקסיומת המקבילים.


ארבעת הספרים הראשונים ביסודיהם שייכים למסורת של פיתגורס והיפוקרטס מכיוס. ששת הספרים הראשונים מתמקדים בגאומטריה המישורית; ארבעת הבאים עוסקים בתורת המספרים; השלושה האחרונים בגיאומטריה המרחבית. רבים מהמשפטים וההוכחות שבספר הפכו לכלים בסיסיים בלימוד המתמטיקה במשך מאות שנים.

"יסודות" נכתב על ידי אוקלידס מאלכסנדריה לפני כאלפיים שנה. זה ספר גדול על צורות ומספרים. הוא מסדר הגדרות וחוקים במתמטיקה.

הספר הגיע לארצות שונות. במאה ה-12 תורגם ללטינית. בהדפסה ראשונה נדפס ב-1482. תרגום לעברית נעשה ב-1780 בעידוד הגאון מווילנה.


הספר מחולק ל-13 חלקים. ששה ראשונים מדברים על צורות שטוחות. שלושה חלקים עוסקים במספרים. אחד מדבר על מספרים שאי-אפשר למדוד ביחד (אי-רציונליים, מספרים שאי-אפשר לכתוב כשבר פשוט). שלושה אחרונים מדברים על צורות במרחב.

את הספר פותח אוקלידס ב-23 הגדרות. אחר כך הוא מציג כמה הנחות בסיסיות, שנקראות פוסטולטים. אחת מהן היא אקסיומת המקבילים. אקסיומה היא הנחה שמקבלים כנכונה בלי להוכיח.


"יסודות" לא נועד להראות כל דבר קיים. הוא ספר לימוד שמלמד איך לבנות הוכחות. הוא השפיע על תלמידים וחוקרים במשך מאות שנים.