מטריקה רימנית

מטריקה רימנית היא כלל המקצה לכל נקודה על יריעה חלקה מכפלה פנימית על המרחב המשיק בנקודה זו. המרחב המשיק הוא מרחב של וקטורים שמייצגים כיוונים ונגזרות בנקודה מסוימת. המכפלה הפנימית היא פונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה מספר, והיא סימטרית וחיובית בכל נקודה. הטנזור המטרי g הוא שדה טנזורי מסוג (0,2) שמכיל את אותה מכפלה פנימית באופן חלק על כל היריעה. יריעה חלקה עם מטריקה רימנית נקראת יריעה רימנית.

הקיום של מטריקה רימנית על כל יריעה חלקה מוכיחים, בין השאר, בעזרת חלוקת יחידה (שיטה לחבר פונקציות מקומיות לפונקציה גלובלית).

מטריקה רימנית מאפשרת למדוד אורכים וזוויות. היא קובעת את האורך של עקום על ידי חיבור אינפיניטסימלי של אורכים של חתיכות זעירות של העקום. את המרחק בין שתי נקודות מגדירים כאינפימום של אורכי כל העקומים שמחברים ביניהן. כך מתקבלת פונקציית מרחק של היריעה.

מטריקה רימנית נותנת גם אלמנט נפח טבעי. את אלמנט הנפח בוחרים כ־dx^1...dx^n כפול שורש הדטרמיננטה של המטריצה g_{\mu\nu}. אלמנט זה אינו משתנה כשמשנים קואורדינטות, משום שעובדת היעקוביאן והדטרמיננטה של המטריקה מבטלות האחת את השנייה.

במקומות שבהם בוחרים קואורדינטות מקומיות, המטריקה מתוארת על ידי מטריצה של פונקציות g_{\mu\nu}(p). לדוגמה במרחב בעל סימטריה כמו הכדור המטריצה מקבלת צורה פשוטה שתלויה ב־\theta (זו זווית קוטבית).

מכיוון שהמטריקה אינה מנוונת, היא יוצרת איזומורפיזם בין המרחב המשיק (וקטורים) למרחב הקו־משיק (קו־וקטורים). בקואורדינטות זה מתבצע על ידי הכפלת רכיבי הווקטור במטריצה g_{ij} או במטריצת ההפכי g^{ij}. פעולה זו נקראת העלאה והורדה של אינדקסים, או בשפה נפוצה "איזומורפיזמים מוזיקליים".

ניתן להכליל רעיונות אלה לטנזורים ולמבנים גאומטריים אחרים על היריעה.

מטריקה רימנית קובעת איך למדוד אורכים וזוויות על שטח חלק. המרחב המשיק הוא המקום שבו מסתכלים על כיוונים בנקודה. המטריקה היא חוק שנותן מספר לכל זוג כיוונים.

בעזרת המטריקה אפשר למדוד את האורך של קו. מרחק בין שתי נקודות הוא האורך הקצר ביותר בין שתיהן. כך המטריקה אומרת לנו מי קרוב ומי רחוק.

המטריקה גם נותנת דרך למדוד נפח. המדד הזה לא משתנה כשמשנים את דרך התיאור של השטח. זה חשוב במדידות גדולות ומדידות גיאומטריות.

ניתן לכתוב את המטריקה במטריצה בתוך מערכת קואורדינטות. לדוגמה במישור ובכדור יש מטריקות פשוטות שמראות איך מודדים שם.

המטריקה מאפשרת להמיר וקטור ל"מדד של וקטור" ולהפך. זה שימושי לחישובים ולרעיונות גאומטריים.

אותם רעיונות עובדים גם על חפצים גאומטריים אחרים.