ישרים מקבילים

"ישרים מקבילים" הם קווים באותו מישור שאינם נפגשים. אקסיומת המקבילים (אחד מהבסיסים של הגאומטריה האוקלידית) קובעת: דרך נקודה מחוץ לישר אפשר להעביר בדיוק ישר אחד המקביל לישר הנתון. בגאומטריות אחרות מחליפים את האקסיומה הזו.

כאשר ישר חותך זוג ישרים מקבילים, הזוויות שנוצרות קשורות זו בזו. זוויות שנמצאות זו לצד זו ומשלימות זו את זו לסכום של 180 מעלות נקראות "זוויות חד-צדדיות". אם הישרים המקבילים נחתכים על ידי חותך, סכום הזוויות החד-צדדיות הוא 180 מעלות (זהו גם π ברדיאנים).

מצולעים מסוימים מאופיינים בכך שיש להם צלעות מקבילות.


ישרים מקבילים מקיימים יחס טרנזיטיבי: אם a מקביל ל-b ו-b מקביל ל-c, אז a מקביל ל-c.


כאשר שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר חותך ("חותך" = ישר הנחתך על ידי שני אחרים), מתעוררות קבוצות זוויות עם קשרים ברורים: זוויות חד-צדדיות, זוויות מתאימות וזוויות מתחלפות.


"זוויות חד-צדדיות" הן שתי זוויות שנמצאות מאותו צד של החותך אך על שני הישרים הנחתכים. אם שני הישרים מקבילים, סכום הזוויות החד-צדדיות הוא 180 מעלות.


ההוכחה מבוססת על אקסיומת המקבילים של אוקלידס: אם מצד אחד הזוויות הנכלאות קטנות מ-180 מעלות, הרי שהישרים יפגשו אם יוארכו מספיק. לכן רק כאשר סכום הזוויות הוא בדיוק 180 מעלות הם לא יפגשו, כלומר יהיו מקבילים.


יחסי הזוויות האלה משמשים להגדרת ולהוכחת תכונות של זוויות מתאימות, זוויות מתחלפות, וזוויות בבניית צורות כמו טרפז שווה-שוקים.


"זוויות מתאימות" נוצרות משני ישרים הנחתכים על ידי חותך, כאשר הן נמצאות באותו צד של החותך ובאותו צד יחסית לישרים. אם הישרים מקבילים, הזוויות המתאימות שוות.


שתי זוויות צמודות משלימות ל-180 מעלות. גם זוג זוויות חד-צדדיות משלימים ל-180 מעלות. לכן כל אחת משתי הזוויות המתאימות שווה ל-180 פחות אותה זווית שלישית, ומכאן שהן שוות זו לזו.


"זוויות מתחלפות" הן שתי זוויות שנמצאות בצדדים מנוגדים של החותך ובצדדים מנוגדים של שני הישרים. יש זוגות פנימיים וזוגות חיצוניים של זוויות מתחלפות. כאשר הישרים מקבילים, הזוויות המתחלפות שוות זו לזו.


ניתן להראות זאת בעזרת סיכומי זוויות חד-צדדיות וזוויות צמודות: כל אחת משתי הזוויות משתווה ל-180 פחות זווית משותפת, ולכן הן שוות.

ישרים מקבילים הם קווים באותו מישור שאינם נפגשים. ("מישור" = משטח שטוח.)

אקסיומת המקבילים אומרת: דרך נקודה מחוץ לקו אפשר להעביר רק קו אחד שאינו נפגש עם הקו ההוא.


כשקו חותך שני ישרים, נוצרים כמה זוויות. "זוויות" הן פינות שנוצרות בין קווים. "זוויות חד-צדדיות" הן שתי זוויות שנמצאות מאותו צד של הקו החותך.

אם שני הישרים מקבילים, סכום שתי הזוויות החד-צדדיות הוא 180 מעלות. כלומר יחד הן משלימות מעגל ישר.


אם קו A מקביל לקו B וקו B מקביל לקו C, אז A מקביל גם ל-C.


"זוויות מתאימות" הן זוויות שנמצאות במקומות דומים בצד החותך. אם הישרים מקבילים, הן שוות.

"זוויות מתחלפות" (אלטרנטיביות) הן זוויות שנמצאות בצדדים הפוכים של החותך. גם הן שוות כשישרים מקבילים.