כלל היסק

כְּלָלֵי הֶסֵּק הם הכללים שמגדירים מתי מותר לעבור מטענה אחת לטענה אחרת. הם קובעים מתי אפשר להסיק מסקנה מהנחות נתונות.

דוגמה פשוטה היא סילוגיזם: כל הברווזים הם עופות; כל העופות בעלי כנף; לכן כל הברווזים בעלי כנף. הכלל המוכר ביותר הוא מודוס פוננס (Modus Ponens). זה אומר: אם P גורר Q, ו־P נכון, אז Q נכון. בסימון פורמלי: מתוך {P→Q, P} ניתן לגזור Q. בנוסף יש מודוס טולנס (Modus Tollens): אם P→Q ו־¬Q, אז ¬P. הקונטרה־פוזיטיב גם הוא כלל תקף: מ־(P→Q) נובע (¬Q→¬P).

כללי ההיסק הם חלק ממערכות הוכחה פורמליות כמו תחשיב הפסוקים ותחשיב הפרדיקטים. הפעולה שלהם היא תחבירית, הם פועלים על מבנה המשפטים. למערכת כזו ניתן לעיתים להחליט באופן ממוחשב אם היסק מסוים מותר. יחד עם זאת יש גם היבט סמנטי: ברוב המערכות כלל ההיסק שומר על אמת, כלומר אם ההנחות אמיתיות, גם המסקנה תהיה אמיתית.

אקסיומות הן טענות שמתקבלות כאמת בתוך המערכת. כללי ההיסק אינם חלק מהשפה עצמה; הם כללים חיצוניים שמסבירים איך ניצור הוכחות. לכן הביטוי {P→Q,P}⊢Q מתאר קשר בין משפטים ולא משפט בתוך השפה. ניסיון להפוך כללי היסק לאקסיומות מוביל לרגרסיה אינסופית, כפי שממחיש לואיס קרול בסיפור על הצב ואכילס.

מערכת דדוקציה טבעית היא אוסף כללים תחביריים להוכחה. במערכת הפשוטה עבור תחשיב הפסוקים יש עשרה כללי היסק: לכל אחד מחמשת הקשרים (חיבור לוגי) יש כלל הכנסה (Introduction) וכלל הוצאה (Elimination). דוגמה לכלל הכנסה לתנאי: מתוך P ו־Q נוכל להסיק P→Q. דוגמה לאלימינציה לקוניונקציה: מתוך P∧Q ניתן להוציא P. מערכת זו נאותה (הוכחה מובילה לאמת) ושלמה (כל אמת ניתנת להוכחה במערכת). גם לתחשיב הפרדיקטים יש מערכת דומה עם כללים לכמתים (מילים כמו "קיים" ו"לכל").

כללי היסק הם כללים שמראים איך להגיע ממחשבה אחת לאחרת.

לדוגמה: כל הברווזים הם עופות. כל העופות בעלי כנף. לכן הברווזים בעלי כנף. יש כלל שמקצר את זה: אם "אם P אז Q" ו־P נכון, אז Q נכון. קוראים לזה מודוס פוננס. יש גם כלל שמאפשר להסיק לא P אם ידוע שלא Q.

כללי ההיסק עובדים על צורת המשפטים (זה נקרא תחביר). הם גם שומרים על אמת: אם ההנחות נכונות, המסקנה נכונה.

אקסיומות הן משפטים שמקבלים אותם כאמת בהתחלה. הכללים הם כללים חיצוניים שעוזרים לבנות הוכחות.

יש מערכת שנקראת דדוקציה טבעית. בה יש כללים להכניס משפטים ולשלוף משפטים. לדוגמה: מתוך שתי משפטים P ו־Q אפשר להכין את המשפט "אם P אז Q". ומהמשפט P∧Q אפשר לשלוף את P.