מבנה אלגברי

באלגברה מופשטת מבנה אלגברי הוא קבוצה לא ריקה של איברים עם פעולה או כמה פעולות המוגדרות עליהם.
קבוצה = אוסף של איברים. פעולה = כלל שמקשר איברים ומייצר איבר חדש. אקסיומות = כללים שהפעולות חייבות לקיים.
מבנים אלגבריים שונים ממבנים מתמטיים אחרים כי האקסיומות שלהם בנוסח פונקציות בלבד, ולא בקשרים (יחסים) בין איברים.
הרעיון המרכזי הוא הפשטה: לוקחים עצמים קונקרטיים, כמו המספרים השלמים או הממשיים, ומוצאים את התכונות הבסיסיות שלהם. כך מקבלים כללים כלליים שנכונים עבור הרבה עצמים שונים.
כשההקשר ברור, מזדהים המבנה עם הקבוצה שלו. למשל חבורה מיוצגת בדרך כלל כ־⟨G,·,e⟩ ונקראת פשוט "G". פעולות במבנה נקראות לעיתים חיבור או כפל, אבל יתכן שהאיברים אינם מספרים והפעולות אינן כפל מספרי רגיל.
כמה תכונות חשובות: סגירות = התוצאה תמיד שייכת לקבוצה; אסוציאטיביות = סדר פעולות לא משנה; איבר יחידה = איבר שלא משנה אחרים; איבר הופכי = איבר שמבטל אחר; קומוטטיביות = חילוף סדר לא משנה.
דוגמאות מקוצרות של מבנים: מאגמה, סגירות בלבד. חבורה למחצה/סמיגרופ, מוסיפים אסוציאטיביות. מונואיד, סמיגרופ עם איבר יחידה. חבורה, מונואיד שבו לכל איבר יש הופכי. חבורה אבלית, חבורה שפעולתה גם חילופית.
חלק ממבנים כוללים גם מספר מרכיבים או כמה פעולות שונות, ולא רק פעולה אחת.

מבנה אלגברי הוא אוסף של איברים עם חוק או כמה חוקים. אוסף = קבוצה של דברים. חוק = כלל שחיבור או פעולה עושים.
החוקים נקראים אקסיומות. אלה כללים שחייבים להתקיים.
למדענים זה שימושי כי אפשר לקחת מספרים, כמו שלמים או ממשיים, ולבדוק רק את התכונות החשובות.
לפעמים קוראים למבנה בשם של הקבוצה, כמו לקרוא לחבורה בשם G. את הפעולה קוראים חיבור או כפל לפעמים.
מאגמה: יש חוק, והתוצאה נשארת בתוך הקבוצה. מונואיד: יש חוק וגם איבר מיוחד שאינו משנה אחרים. חבורה: יש איבר מיוחד ולכל איבר יש "הפוך" שמחזיר את האיבר ל"אפס". חבורה אבלית: חבורה שבה סדר הפעולה לא משנה את התוצאה.