מחלקה (תורת החבורות)

בבתורת החבורות, מחלקה (קוסט) של תת-חבורה H היא הקבוצה שמתקבלת כאשר מכפילים כל איברי H באיבר קבוע g מהחבורה G. כלומר, המחלקה השמאלית של g מסומנת gH וכוללת את כל הצורות g·h כאשר h שייך ל-H.

מחלקות של אותה תת-חבורה יוצרות חלוקה של G: כל איבר ב-G שייך למחלקה אחת בלבד, וכל המחלקות שוות בגודלן. חשוב לדעת שמחלקות אינן בהכרח תת-חבורות בעצמן, פרט למחלקה הטריוויאלית H עצמה. דוגמה פשוטה: G={1,-1,i,-i}, H={1,-1}. המחלקה הלא-טריוויאלית היא {i,-i}, והיא אינה סגורה להכפלה, ולכן אינה תת-חבורה.

תהי G חבורה ו-H תת-חבורה שלה. לכל g∈G מגדירים את המחלקה השמאלית gH כאוסף כל האיברים g·h עבור כל h∈H.

כל שתי מחלקות מאותו צד שונות הן זרות, כלומר אין להן איברים משותפים. אם החיתוך שלהן אינו ריק אז הן זהות. מקרה זה מראה שהיחס "שייכות לאותה מחלקה" הוא יחס שקילות, והמחלקות הן הסימון של המחלקות של H בחלוקה של G.

מספר המחלקות השמאליות של H ב-G נקרא אינדקס של H ב-G ומסומן [G:H]. לכל מחלקה יש בדיוק |H| איברים. עבור חבורה סופית נובע משפט לָגרָנז': |G| מתחלק ב-|H|, כלומר [G:H]=|G|/|H|.

אם לכל g∈G מתקיים gH=Hg (המחלקות השמאליות שוות לימניות), אז H נקראת תת-חבורה נורמלית. לתת-חבורה כזו חשיבות רבה כי היא מאפשרת להגדיר חבורת מנה.

בחבורה (Z,+) של השלמים, 4Z היא תת-חבורה של כל המספרים שמתחלקים ב-4. יש לה בדיוק ארבע מחלקות: 4Z, 1+4Z, 2+4Z ו-3+4Z. נציגים למשל ל-1+4Z הם 5 ו-161; לנציגים של 3+4Z אפשר לקחת 3 או 23. מכיוון ש-(Z,+) היא חבורה אבאלית, המחלקות השמאליות והימניות זהות.

מחלקה (קוסט) היא קבוצה שמקבלים כשמכפילים כל איברי תת-חבורה H באיבר אחד g מהחבורה G. זאת אומרת, לוקחים את כל ה-h שב-H ומצמידים להם את g.

מחלקות מחלקות את כל החבורה לקבוצות נפרדות. כל קבוצת מחלקה שווה בגודלה ל-H. בדרך כלל מחלקות אינן תת-חבורות, חוץ מהמקרה הפשוט H עצמה.

דוגמה קצרה: בחבורה G={1,-1,i,-i} ותת-החבורה H={1,-1}, יש את המחלקה {i,-i}. היא לא סגורה להכפלה ולכן לא תת-חבורה.

דוגמה נוספת קלה: בחבורה של כל המספרים השלמים (עם חיבור), 4Z הם כל המספרים החולקים ב-4. יש ארבע מחלקות: 0+4Z, 1+4Z, 2+4Z ו-3+4Z. למשל 5 שייך ל-1+4Z ו-3 שייך ל-3+4Z.

אינדקס זהו מספר המחלקות של H ב-G. תת-חבורה נורמלית היא כזו שבה המחלקות השמאליות והימניות תמיד שוות.