מטריצה סקלרית

מטריצה סקלרית היא מטריצה ריבועית ואלכסונית שמתקבלת מכפל של מטריצת היחידה בסקלר. סקלר הוא מספר (למשל λ), ומטריצת היחידה היא מטריצה שיש לה 1 לאורך האלכסון הראשי ו-0 בכל מקום אחר. הכפל בסקלר פשוט: מכפילים כל איבר במטריצה באותו הסקלר, ובמקרה של מטריצת היחידה זה מניב מטריצה שבה כל איברי האלכסון שווים ל-λ ושאר האיברים אפס.


ניתן להגדיר את איבריה של מטריצה סקלרית [a_{ij}]_{n×n} כך: אם i=j אז a_{ij}=λ, ואם i≠j אז a_{ij}=0, כאשר λ הוא סקלר נתון. כלומר, זו מטריצה שבה על כל האלכסון מופיע אותו מספר λ, ושאר האיברים הם אפסים.

מטריצה סקלרית עם λ≠0 היא הפיכה. הסקלר ההפכי הוא 1/λ, ומכפלה של שתי מטריצות סקלריות עם סקלרים הפכיים מחזירה את מטריצת היחידה. בנוסף, אוסף המטריצות הסקלריות מעל שדה k דומה במבנה לשדה עצמו. המרכז של קבוצת כל המטריצות ההפיכות (כלומר המטריצות שמקיימות AB=BA לכל מטריצה B) הוא בדיוק אוסף המטריצות הסקלריות. במילים פשוטות: מטריצה היא סקלרית אם ורק אם היא "מתקשרת" (commute) עם כל מטריצה אחרת מאותו הגודל, כלומר AB=BA.

מטריצה סקלרית היא טבלת מספרים ריבועית עם אותו מספר על כל הקו מהפינה השמאלית עליונה לפינה הימנית תחתונה. סקלר הוא מספר אחד. מטריצת זהות היא טבלה עם 1 על הקו הזה ו-0 בשאר המקומות. כפל בסקלר אומר שמכפילים כל מספר בטבלה באותו הסקלר. לכן מטריצה סקלרית נראית כך: על כל האלכסון יש λ ושאר המקומות הם 0.


באופן פשוט: אם השורה והעמודה זהים (i=j) אז הערך הוא λ. אם הם שונים (i≠j) הערך הוא 0. אם λ אינו אפס, יש מספר שאם מכפילים בו את λ מקבלים 1. אז גם המטריצה ההפוכה קיימת, ומכפלתן מחזירה את מטריצת הזהות. נוסיף שאלה מעניינת: המטריצות הסקלריות מתנהגות הרבה כמו המספרים עצמם.